Kommutierung von Winkel- und Linearimpulsoperatoren

Sie müssen nicht-triviale Vertauschungsbeziehungen haben, da alle Vektoroperatoren bestimmte Vertauschungsbeziehungen mit den Drehimpulsoperatoren haben, weil sie Rotationen erzeugen und Vektoren sich unter Rotation in einer bestimmten Weise transformieren.

Die Beziehungen lassen sich auch direkt für den Impuls herleiten:

$$\begin{align*} [p_i, L_j] &= \varepsilon_{jlm}[p_i, x_lp_m] = \varepsilon_{jlm} \big(x_l [p_i, p_m] + [p_i, x_l]p_m \big) = -\varepsilon_{jlm} i\hbar \delta_{il} p_m = i\hbar\varepsilon_{ijm}p_m. \end{align*}$$

Allerdings der Begriff$[L_x, p_x]$du berechnest ja null da$\varepsilon_{xxj} = 0$für alle$j$, Aber$[L_y, p_x]$Und$[L_z, p_x]$sind nicht.

Zur allgemeinen Aussage

Der Operator für eine räumliche Drehung um die Achse$\vec \varphi$durch den Winkel, der durch seinen absoluten Wert in der Quantenmechanik gegeben ist, ist gegeben durch$U = e^{-\frac i \hbar \vec \varphi \cdot \vec L}$(Das entspricht dem Weg$T = e^{-\frac i \hbar \vec a \cdot \vec p}$implementiert räumliche Übersetzungen in den Zuständen). Die zugehörige Rotationsmatrix ist${}^1$ $A = e^{\vec \varphi \times}$und die Komponenten der Erwartungswerte von Vektoroperatoren$\vec v$in allen Zuständen (und damit den Komponenten von Vektoroperatoren) entsprechend transformieren müssen${}^2$:

$$\begin{align*} U \vec v U^\dagger = A\vec v. \end{align*}$$ Die Betreiber $U$Und $A$Auf unterschiedliche Weise arbeiten hier die Betreiber $A$transformiert zwischen den Komponenten des Vektors, so dass die rhs liest $A_{ij}v_j$in Komponenten, auf der linken Seite der Bediener $U$ist ein Skalar, in dem Sinne, dass $U$wirkt auf jede Komponente von $\vec v$unabhängig, das heißt $v_i$in eine lineare Kombination der Komponenten von transformiert wird $\vec v$.

Nun schauen wir uns die Komponente an$i$und verwende die Formel${}^3$ $e^{-B}Ae^B = e^{[B, \cdot]}A$um die linke Seite der Transformationsformel zu erweitern und die Exponentialfunktion auf der rechten Seite zu erweitern:

$$\begin{align*} U^\dagger v_i U &= \sum_{n=0}^\infty \frac{i^n}{\hbar^n n!} [\varphi_m L_m, \cdot]^n v_i = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\vec \varphi \times)^n_{ij} v_j}{n!} = \big(e^{\varphi \times}\vec v \big)_i. \end{align*}$$ Durch den Vergleich von Koeffizienten (in Bezug auf Potenzen von Komponenten von $\varphi$) auf der linken und rechten Seite gelangen wir zu: $$\begin{align*} (i/\hbar)^n[\varphi_mL_m, \cdot]^n v_i &= (\vec \varphi \times)^n_{ij}v_j. \end{align*}$$ Nehmen $n = 1$gibt: $$\begin{align*} (i/\hbar)\varphi_m[L_m, v_i] &= \varepsilon_{ikj} \varphi_k v_j & [L_m, v_i] &= -i\hbar \varepsilon_{imj} v_j & [L_m, v_i] &= i\hbar\varepsilon_{mij} v_j \end{align*}$$ (Die zweite Gleichung folgt durch den Vergleich von Koeffizienten, beachten Sie das $\vec \varphi$frei wählbar). Es bleibt dem Leser als Übung überlassen zu zeigen, dass dieser aus dem Term erster Ordnung abgeleitete Kommutator die Gleichung in allen Ordnungen erfüllt.

Diese Diskussion kann tatsächlich auf Tensoroperatoren beliebiger Ordnung ausgedehnt werden, einschließlich Skalare (alle Skalare kommutieren mit den Drehimpulskomponenten, da$U^\dagger s U = s$).

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${}^1$Diese Notation berücksichtigt$\vec\varphi \times$als linearer Operator, der einen Vektor abbildet$\vec v$Zu$\vec\varphi \times \vec v$, in Komponenten ist dieser lineare Operator durch die Matrix gegeben$(\vec \varphi \times)_{ij} = \epsilon_{ikj} \varphi_k$.

${}^2$Üblicherweise wird der Bahndrehimpuls umgekehrt durch Vorgabe des Transformationsverhaltens und der entsprechenden Erhaltungsgröße bei Rotationssymmetrie abgeleitet

${}^3$Die Notation$[A, \cdot]$bezeichnet den Superoperator$[A, \cdot] \colon B \mapsto [A, B]$, das heisst$[A, \cdot]^n = \underbrace{[A, [A, \cdots [A, B]\cdots]]}_{\text{$n$ commutators}}$.