Fermionische Antikommutierungsbeziehungen

Damit Fermionen dem Paulischen Ausschlussprinzip folgen, brauchen wir diese Antikommutatoren

[ A λ , A λ ] + = 0
Und
[ A λ † , A λ † ] + = 0
Dann
N λ 2 = A λ † A λ A λ † A λ = A λ † ( 1 − A λ † A λ ) A λ = A λ † A λ = N λ .
was gibt N λ = 0 , 1 . Hier haben wir den Antikommutator verwendet
[ A λ , A λ ' † ] + = δ λ , λ '
Aber wir hätten sogar einen Kommutator anstelle des Antikommutators verwenden können und immer noch das gleiche Ergebnis erhalten, dh wenn wir uns dafür entschieden hätten [ A λ , A λ ' † ] − = δ λ , λ ' Dann N λ 2 = A λ † A λ A λ † A λ = A λ † ( 1 + A λ † A λ ) A λ = A λ † A λ = N λ was auch gibt N λ = 0 , 1
Welche Bedingungen veranlassen uns, die letzte Anti-Vertauschungs-Beziehung aufzuerlegen
[ A λ , A λ ' † ] + = δ λ , λ '
anstatt [ A λ , A λ ' † ] − = δ λ , λ ' ?

Ich meine, wir brauchen nicht alle Beziehungen, die gegen das Pendeln sind. Ich kann davon ausgehen, dass 2 von ihnen gegen das Pendeln sind, aber der dritte, dh die Beziehung zwischen dem Schöpfungs- und dem Vernichtungsoperator, ist pendelnd und behält dennoch den Pauli-Ausschluss bei

Vielleicht täuschen mich meine Augen, aber anscheinend haben Sie den Antikommutator, über den Sie sich gewundert haben, tatsächlich in Ihrer zweiten Gleichheit nach "weil" verwendet.
@joshphysics hat die Änderung vorgenommen. Ich meine, ich hätte sogar einen Kommutator anstelle des Antikommutators verwenden können und trotzdem das gleiche Ergebnis erhalten
@Qmechanic: danke, obwohl es die Frage anspricht, aber es ist ein bisschen vage für mich.

Antworten (3)

Vermuten A Und A + Betreiber befriedigen

{ A , A } = 0  Und  [ A , A + ] = 1
Wir haben im Grunde A 2 = 0 Und A A + = A + A + 1 .

Jetzt bedenke A A A + .

0 = A A A + = A ( A + A + 1 ) = A A + A + A = A + A A + 2 A = 2 A .

Also bekommen wir A = 0 .

Wir brauchen es, weil wir den "besetzten" Zustand haben wollen N λ = 1 ; Ich werde die weglassen λ Streit überall. Mit anderen Worten, wir brauchen

N A † | 0 ⟩ ≡ A † A A † | 0 ⟩ = 1 ⋅ A †
Aber die linke Seite hat den Operator, der ist
A † A A † | 0 ⟩ = A † ( [ A , A † ] + − A † A ) = A † [ A , A † ] +
wo der letzte Term im letzten Term weggefallen ist, weil ( A † ) 2 = 0 . Also fordern wir
A † [ A , A † ] + | 0 ⟩ = A † | 0 ⟩ .
In Kombination mit Ihren anderen Bedingungen ist dies nur möglich, wenn der Antikommutator einer ist – wir können den "streichen". | 0 ⟩ ket-Vektor, weil eine ähnliche Bedingung abgeleitet werden kann | 1 ⟩ als Ket-Vektor.

@Motl Ich meine, wir könnten auch den Kommutator verwenden [ A λ , A λ ' † ] − = δ λ , λ ' und bekomme immer noch das gleiche Ergebnis. Warum sollte ich nur den Antikommutator verwenden? Ich kann die Antikommutatoren verwenden
[ A λ , A λ ] + = 0
Und
[ A λ † , A λ † ] + = 0 ,
zusammen mit
[ A λ , A λ ' † ] − = δ λ , λ '

Du liegst offensichtlich falsch.

Wenn Sie Operatoren mit Antikommutierungsbeziehungen haben, haben Sie:

(1) A + λ A + λ ' + A + λ ' A + λ = 0

Nehmen λ = λ ' , du erhältst :

(2) A + λ A + λ = 0

Wenn Sie Operatoren mit Kommutierungsbeziehungen haben, haben Sie:

(3) A + λ A + λ ' − A + λ ' A + λ = 0

Nehmen λ = λ ' , du erhältst :

(4) A + λ A + λ − A + λ A + λ = 0
das ist eine triviale Gleichung ( X = X )

Bei Kommutierungsbeziehungen ist es also nicht wahr, dass Sie haben: A + λ A + λ = 0 , also deine Gleichung N λ 2 = N λ ist offensichtlich falsch für Operatoren mit Kommutierungsrelationen.

Meine Frage bezieht sich nur auf die letzte Antikommutierungsbeziehung, die Sie in Ihrem Beweis nicht verwendet haben. Ich verstehe, dass Sie die beiden Anti-Vertauschungsbeziehungen benötigen, die Sie verwendet haben, um das Pauli-Ausschlussprinzip zu beweisen. Meine Frage ist, auf welcher Grundlage wir die dritte Relation, dh die Relation des Erzeugungs- und Vernichtungsoperators, vom Antikommutatortyp und nicht vom Kommutatortyp wählen. Lesen Sie meinen Kommentar als Antwort auf die Antwort von Lubos Motl.
@cleanplay: Dies ist eine andere Frage ... Kurz gesagt, dies hat mit dem Spin-Statistik-Theorem zu tun. Wenn Sie zum Beispiel in der Quantenfeldtheorie den Hamiltonian für ein fermionisches Feld (zum Beispiel ein Dirac-Feld) schreiben, werden Sie so etwas wie finden H = ∑ k ( B k + B k − D k D k + ) ( B betrifft Teilchen u D betrifft Antiteilchen). Aber dieser Hamiltonoperator muss nach unten beschränkt werden, und Sie müssen Anti-Vertauschungs-Beziehungen wählen, um zu haben H = ∑ k ( B k + B k + D k + D k ) , bis auf eine (unendliche) Konstante.
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