Was ist die physikalische Bedeutung des Antikommutators in der Quantenmechanik?

Entschuldigung, aber die Analyse dessen, was Kommutatoren bedeuten (im angegebenen Link), ist zwar sehr gut, bietet jedoch keine Intuition und verallgemeinert nicht auf Antikommutatoren.

Kommutatoren , die für Bose-Teilchen verwendet werden, sorgen dafür, dass die Klein-Gordon-Gleichung eine begrenzte Energie hat (eine notwendige physikalische Bedingung, die Anti-Kommutatoren nicht erfüllen).

Andererseits bewirken Antikommutatoren , dass die Dirac-Gleichung (für Fermionen) eine begrenzte Energie hat (im Gegensatz zu Kommutatoren), siehe Spin-Statistik-Verbindungssatz .

In diesem Sinne ist der Antikommutator das genaue Analogon von Kommutatoren für Fermionen (aber was bedeuten eigentlich Kommutatoren?). schöne und schwierige Frage, die intuitiv zu beantworten ist.

Kommutatoren (zwischen Observablen) messen gewissermaßen die Korrelation der Observablen. Somit ist auch eine Maßnahme (weg von) gleichzeitiger Diagonalisierung dieser Observablen.

Ein wenig darauf eingehen.

Nehmen wir an, wir haben einen Staat$\psi$und zwei Observablen (Operatoren)$A$,$B$. Wenn diese Operatoren gleichzeitig in einer gegebenen Darstellung diagonalisiert werden, wirken sie auf den Zustand$\psi$nur durch eine bloße Multiplikation mit einer reellen (c-Zahl) Zahl (entweder$a$, oder$b$), ein Eigenwert jedes Operators (d. h$A\psi=a\psi$,$B\psi=b\psi$).

Das wissen wir für reelle Zahlen$a,b$das hält$ab-ba=0$ identisch (oder in Operatorform$(AB-BA)\psi=0$oder$\left[A,B\right]\psi=0$) so der Ausdruck$AB-BA=\left[A,B\right]$(der Kommutator ) wird zu einem Maß weg von der gleichzeitigen Diagonalisierung (wenn die Observablen kommutieren , ist der Kommutator identisch Null und in jedem anderen Fall nicht Null ).

Eine andere Möglichkeit, den Kommutatorausdruck zu sehen (der sich auf den vorherigen Absatz bezieht), besteht darin, einen (unendlich kleinen) Pfad vom Punkt (Zustand) zu nehmen.$\psi$darauf hinweisen$A \psi$und dann zu zeigen$BA \psi$und dann der weg von$\psi$zu$B \psi$zu$AB \psi$. Wenn die Operatoren pendeln (gleichzeitig diagonalisierbar sind), sollten die beiden Pfade auf demselben Endzustand (Punkt) landen. Wenn nicht, ist ihre Differenz ein Korrelationsmaß (Maß weg von der simultanen Diagonalisierung).

Wenn es um Fermionen geht (Pauli-Ausschlussprinzip, Grassman-Variablen$\theta_1 \theta_2 = - \theta_2 \theta_1$), müssen die Kommutatoren entsprechend angepasst werden (Minuszeichen ändern), werden also zu Antikommutatoren (um die gleiche Größe zu messen).

In Fortsetzung des vorherigen Gedankengangs basierte der verwendete Ausdruck darauf, dass für reelle Zahlen (und damit für Bosonenoperatoren) der Ausdruck$ab-ba$ist (identisch) Null.

Fermion (Grassman)-Variablen haben jedoch eine andere Algebra ($\theta_1 \theta_2 = - \theta_2 \theta_1 \implies \theta_1 \theta_2 + \theta_2 \theta_1=0$, Identität ).

Was war also eine identische Nullbeziehung für Bosonenoperatoren ($ab-ba$) muss für Fermionenoperatoren auf die identische Nullrelation angepasst werden $\theta_1 \theta_2 + \theta_2 \theta_1$, also zum Antikommutator .

Unkorrelierte Observable (entweder Bosonen oder Fermionen) kommutieren (bzw. antikommutieren) also unabhängig und können gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit gemessen (diagonalisiert) werden. Wenn dies nicht der Fall ist, sind die Observablen korreliert, sodass der Vorgang des Festlegens eines Observablen das andere Observable verändert und eine gleichzeitige (willkürliche) Messung / Manipulation beider unmöglich macht.

PS. Sehen Sie, wie die vorherige Analyse auf eine andere beliebige Algebra (basierend auf identischen Nullbeziehungen) verallgemeinert werden kann, falls in Zukunft ein anderer Teilchentyp mit einer anderen Algebra für seine Eigenwerte erscheint.

Kommutatoren und Antikommutatoren sind in der Quantenmechanik allgegenwärtig, daher sollte man sich nicht wirklich auf die im OP bereitgestellte Interpretation beschränken. Es gibt jedoch einen spezifischen Aspekt von Antikommutatoren, der hier ein wenig Klarheit schaffen kann: Man verwendet Antikommutatoren oft für Korrelationsfunktionen.

Tatsächlich hängt der Mittelwert eines Produkts zweier Quantenoperatoren von der Reihenfolge ihrer Multiplikation ab. Wir können jedoch immer schreiben:

$$AB = \frac{1}{2}[A, B]+\frac{1}{2}\{A, B\},\\ BA = \frac{1}{2}[A, B]-\frac{1}{2}\{A, B\}.$$ Im klassischen Grenzfall verschwindet der Kommutator, während der Antikommutator einfach von der Ordnung der darin enthaltenen Größen unabhängig wird. Man definiert daher Quantenäquivalente von Korrelationsfunktionen oft als: $$K_{AB}=\left\langle \frac{1}{2}\{A, B\}\right\rangle.$$

Als Beispiel siehe die Verwendung des Antikommutators siehe [die Quantenversion des Fluktuationsdissipationstheorems] [1], wo

$$S_{x}(\omega)+S_{x}(-\omega)=\int dt e^{i\omega t}\left\langle \frac{1}{2}\{x(t), x(0)\}\right\rangle$$ (Ich versuche, mich an die Notation des Wikipedia-Artikels anzupassen, aber in der letzten Gleichung können Fehler enthalten sein.)