Das ist eine Frage, die mir schon oft von Studenten gestellt wurde, und es fällt mir schwer, sie so zu formulieren, dass sie sie verstehen. Dies ist eine natürliche Frage, die gestellt wird, und sie wird normalerweise nicht gut in Lehrbüchern behandelt, daher würde ich gerne verschiedene Perspektiven und Erklärungen kennenlernen, die ich beim Unterrichten verwenden kann.
Die Frage stellt sich ganz natürlich in dem meist zweiten Studiengang Quantenphysik / Quantenmechanik. In diesem Stadium ist man mit dem Konzept der Wellenfunktionen und der Schrödinger-Gleichung ziemlich vertraut und hatte nur begrenzten Kontakt mit Operatoren. Ein häufiger Fall ist zum Beispiel die Erklärung, dass einige Operatoren pendeln und dass die entsprechenden Observablen daher „kompatibel“ sind und dass es eine gemeinsame Eigenbasis gibt; Die Kommutierungsbeziehung wird normalerweise ausgedrückt als aber mehr wird über diesen Gegenstand nicht gesagt.
Das wundert die Schüler natürlich
Was genau ist die physikalische Bedeutung des Objekts? selbst?
und das ist keine einfache Frage. Ich hätte gerne Antworten, die dies direkt ansprechen, idealerweise auf verschiedenen Abstraktionsebenen und erforderlichen Hintergründen. Beachten Sie auch, dass mich das Objekt viel mehr interessiert selbst als die Konsequenzen und Interpretationen, wenn es Null ist, da diese viel einfacher sind und in den meisten Ressourcen viel eingehender untersucht werden.
Ein Grund, warum dies eine schwierige Frage ist (und dass Kommutatoren für Schüler so verwirrende Objekte sind), ist, dass sie einer Vielzahl von Zwecken dienen und nur dünne Verbindungsfäden zwischen ihnen bestehen (zumindest aus der Bottom-up-Perspektive gesehen).
Kommutierungsbeziehungen werden normalerweise in der Form ausgedrückt obwohl es a priori wenig Motivation für die Einführung einer solchen Terminologie zu geben scheint.
Hinter der kanonischen Vertauschungsrelation wird viel Wert gelegt , obwohl es nicht immer klar ist, was es bedeutet.
(Meiner Ansicht nach ist das grundlegende Prinzip, das dies verschlüsselt, im Wesentlichen die Beziehung von de Broglie ; Dies wird durch das Stone-von-Neumann-Eindeutigkeitstheorem rigoros gemacht, aber das ist ziemlich viel, von einem Studenten zu erwarten, dass er es auf Anhieb versteht.)
Daraus ergibt sich eine natürliche Erweiterung des Heisenbergschen Unschärfeprinzips, das in seiner allgemeinen Form einen Kommutator (und zu allem Übel einen Antikommutator) enthält. Kanonisch konjugierte Paare von Observablen werden oft eingeführt, und dies wird oft durch Beobachtungen an Kommutatoren unterstützt. (Andererseits können die Energie-Zeit- und Winkel-Winkelimpuls-Konjugationsbeziehungen nicht in Form von Kommutatoren ausgedrückt werden, was die Dinge noch unschärfer macht.)
Kommutatoren werden sehr häufig verwendet, zum Beispiel beim Studium der Drehimpulsalgebra der Quantenmechanik. Es ist klar, dass sie eine große Rolle bei der Codierung von Symmetrien in der Quantenmechanik spielen, aber es wird kaum klargestellt, wie und warum und insbesondere warum die Kombination sollte für Symmetrieüberlegungen wichtig sein.
Dies wird noch wichtiger bei strengeren Behandlungen der Quantenmechanik, wo die Besonderheiten des Hilbert-Raums weniger wichtig werden und die Algebra der beobachtbaren Operatoren im Mittelpunkt steht. Der Kommutator ist die zentrale Operation dieser Algebra, aber auch hier ist nicht ganz klar, warum diese Kombination etwas Besonderes sein sollte.
Gelegentlich wird eine Analogie zu den Poisson-Klammern der Hamiltonschen Mechanik gezogen, aber das hilft kaum – Poisson-Klammern sind ebenso mysteriös. Dies bindet den Kommutator auch in die Zeitentwicklung ein, sowohl auf der klassischen Seite als auch über die Heisenberg-Bewegungsgleichung.
Mehr fallen mir im Moment nicht ein, aber es sind sehr viele gegensätzliche Richtungen, die alles sehr verwirrend machen können, und es gibt selten einen roten Faden. Also: Was genau sind Kommutatoren und warum sind sie so wichtig?
Selbstadjungierte Operatoren treten auf zwei logisch unterschiedliche Arten in QM ein, das in komplexen Hilbert-Räumen beschrieben wird. Dies führt zu einem entsprechenden Bedeutungspaar des Kommutators.
Ersteres ist mit den beiden anderen möglichen Hilbertraumformulierungen (reelle und quaternionische) gemeinsam: Selbstadjungierte Operatoren beschreiben Observablen .
Zwei Observable können kompatibel oder inkompatibel sein , in dem Sinne, dass sie gleichzeitig gemessen werden können oder nicht (entsprechende Messungen stören sich gegenseitig beim Betrachten der Ergebnisse). Bis auf einige mathematische Formalitäten ist der Kommutator angesichts der Verallgemeinerungen des Heisenberg-Prinzips, die Sie in Ihrer Frage erwähnen, ein Maß für die Inkompatibilität . Grob gesagt, je mehr der Kommutator unterschiedlicher Form ist , desto mehr sind die Observablen untereinander inkompatibel. (Denken Sie an Ungleichheiten wie . Es verhindert die Existenz eines gemeinsamen Eigenvektors von und - die Observablen gleichzeitig definiert sind - da ein solcher Eigenvektor verifizieren würde .)
Die andere Art und Weise, wie selbstadjungierte Operatoren in den Formalismus der QM eingehen (hier unterscheiden sich reelle und quaternionische Versionen vom komplexen Fall), betrifft die mathematische Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien. Tatsächlich scheinen sie Erzeuger einheitlicher Gruppen zu sein, die (stark kontinuierliche) physikalische Transformationen des physikalischen Systems darstellen. Eine solche kontinuierliche Transformation wird durch eine einheitliche Gruppe mit einem Parameter dargestellt . Ein berühmter Satz von Stone bestätigt dies tatsächlich für einen eindeutigen selbstadjungierten Operator und alle reell . Dieser Ansatz zur Beschreibung kontinuierlicher Transformationen führt gerade angesichts der (eindeutigen!) Tatsache, dass ist auch eine beobachtbare .
Die Wirkung einer Symmetriegruppe auf einem beobachtbaren wird durch die bekannte Formel im Heisenberg-Bild deutlich:
Zum Beispiel, wenn beschreibt Drehungen des Winkels um die Achse, ist das Analogon des Beobachtbaren gemessen mit abgedrehten physikalischen Instrumenten um .
Der Kommutator ist hier eine Bewertung erster Ordnung der Wirkung der Transformation auf die Observable , da (wieder bis auf mathematische Feinheiten speziell bei Domains):
Normalerweise sind die in Kommutierungsbeziehungen enthaltenen Informationen sehr tief. Wenn man sich mit Lie- Symmetriegruppen beschäftigt, erlaubt es, die gesamte Darstellung (es gibt eine wunderbare Theorie von Nelson zu diesem grundlegenden Thema) unter einigen recht milden mathematischen Hypothesen zu rekonstruieren. Daher spielen Kommutatoren eine entscheidende Rolle bei der Analyse von Symmetrien.
Ich möchte die Interpretation von Kommutatoren als Maß für Störungen (im Zusammenhang mit Inkompatibilität, wie in den anderen Antworten angesprochen) ein wenig erläutern. Meine Interpretation des Kommutators ist die quantifiziert das Ausmaß, in dem die Wirkung von ändert den Wert der dynamischen Variablen , und umgekehrt.
Nehmen wir das an ist ein selbstadjungierter Operator mit einem diskreten nicht entarteten Spektrum von Eigenwerten mit zugehörigen eigenkets . Dann können Sie das für jeden Operator zeigen , besteht die folgende Zerlegung
Im Allgemeinen ist der Vollkommutator
Nun der nicht ganz so offensichtliche Teil: Was bedeutet „changing durch Auftragen " physikalisch bedeuten? Wie von Valter angemerkt, werden Evolution und Transformationen in QM formal durch Anwendung von unitären Operatoren ausgeführt , die von Observablen erzeugt werden, nicht durch Anwendung der Observablen selbst. Dies bezieht sich auf die obige Zerlegung auf folgende Weise. Angenommen, wir nehmen der Hamiltonian zu sein . Dann ist es einfach zu zeigen, dass die Evolution von im Heisenberg-Bild ist gegeben durch
Dies ist kaum eine vollständige Antwort auf die eher optimistische Frage "was bedeuten Kommutatoren physikalisch". Es könnte jedoch dem neugierigen Studenten einige Denkanstöße geben.
Dies folgt seit dem sind orthogonal zum Hilbert-Schmidt-Innerenprodukt:
Auf einer Grundstufe:
1) wenn , und wenn und sind infinitesimale Erzeuger einer Symmetrie (also auch Erhaltungsgrößen), das heißt, beides ist invariant durch , und ist invariant durch .
Zum Beispiel, , bedeutet, dass der Drehimpuls während der Zeitentwicklung erhalten bleibt und dass die Hamilton-Funktion rotationsinvariant ist.
Wie @Valter Moretti sagt, ein Nicht-Null-Kommutator misst die Abweichung von (beiden) Symmetrien.
2) Kommutatoren des Typs , wenn einem diskreten Spektrum zugeordnet ist, bedeutet das ist ein Heben/Senken-Operator mit einem " -aufladen" .
Ein offensichtliches Beispiel ist
3) Vertauschungsbeziehungen vom Typ , wenn und sind Observablen, die klassischen Größen entsprechen und , könnte durch Betrachtung der Mengen interpretiert werden oder . Diese klassischen Größen können nicht in Quantenobservable überführt werden, weil die Unsicherheit bei diesen Größen immer vorhanden ist .
Zum Beispiel, zeigt, dass es keine Quantenobservable gibt, die der Aktion entspricht .
Obwohl diese Erklärung nicht sehr "physikalisch" ist und für einen beginnenden QM-Studenten wahrscheinlich nicht nützlich ist, denke ich, dass die gesamte wichtige Physik, die im Kommutator enthalten ist, letztendlich der Zassenhaus-Formel entspringt
Beginnen wir mit der Schrödinger-Gleichung:
Betrachten Sie als Nächstes eine Observable , und schauen wir uns die Zeitabhängigkeit seines Erwartungswerts an .
Unter Verwendung der Linearität und zyklischen Invarianz der Spur erhalten wir
Schauen wir uns nun den Hamilton-Operator genauer an. In der klassischen Mechanik können wir für nichtrelativistische Probleme den Hamiltonoperator schreiben als
Über den Zusammenhang mit Symmetrien und Unbestimmtheitsrelationen haben Sie bereits Antworten bekommen (und es ist jetzt ziemlich spät in der Nacht), also höre ich hier auf.
Es kann hilfreich sein, den Schülern folgendes HW-Problem zuzuweisen:
Vermuten und zwei Observable sein
i) Was ist die notwendige Bedingung dafür und gleichzeitig in einem Experiment ohne Unsicherheit gemessen werden können ?
ii) Schreiben Sie alle Polynome zweiten Grades in auf und die wiederum beobachtbar sind.
iii) Angenommen, A sei der Hamiltonoperator**. Die Zeit entwickelt einen Zustand für eine Zeit unter , und bezeichnen den so erhaltenen Zustand als . Können wir ausdrücken wie für einige beobachtbar ? Wenn ja, finden .
** Bei diesem Problem dürfen wir auch nehmen ein anderer Symmetriegenerator als Hamiltonian sein.
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