Quantenmechanik mit mehreren Werten von ℏℏ\hbar

Unterschiedliche Planck-Konstanten für verschiedene Teilchen zu haben, verstößt gegen die Energie-Impuls-Erhaltung, es sei denn, die verschiedenen Arten von Teilchen interagieren nicht miteinander. Dies kann anhand der Argumente in " New Test of Quantum Mechanics: Is Planck's Constant Unique? ", E. Fischbach, GL Greene, RJ Hughes, Physical Review Letters 66 (1991) 256-259, gesehen werden.

Betrachten Sie ein einfaches nicht-relativistisches eindimensionales System zweier spinloser Teilchen mit derselben Masse$m$aber verschiedene Planck-Konstanten$h_A$Und$h_B$, Interaktion durch ein Potential$V$. Ihr Hamiltonian ist

$$H=\frac{p^2_A}{2m}+\frac{p^2_B}{2m}+V(x_A-x_B) =\frac{P^2}{2M}+\frac{k^2}{m}+V(r)$$ Wo $r=x_A-x_B$, $k=(p_A-p_B)/2$, $M=2m$, Und $P=p_A+p_B$. Die Planck-Konstanten für jedes Teilchen beziehen ihren Impuls und ihre Position durch die Kommutierungsbeziehungen $$[x_A,p_A]=i\hbar_A,\quad[x_B,p_B]=i\hbar_B, \qquad\textrm{with }[x_A,x_B]=[p_A,p_B]=0$$ Eine Größe bleibt erhalten, wenn sie mit dem Hamiltonoperator pendelt, aber das finden wir $$[H,P]=[V(r),P]=i(h_A-h_B)\frac{\partial V}{\partial r}$$ was nicht null ist, es sei denn entweder $h_A=h_B$oder $V(r)$ist unabhängig von $r$(dh es gibt keine Kraft zwischen den Partikeln). Damit der Impuls erhalten bleibt, müssen die beiden Teilchen dieselbe Plancksche Konstante haben oder sie dürfen nicht interagieren.

Experimentelle Einschränkungen für Unterschiede in der Planckschen Konstante werden dadurch festgelegt, wie gut Theorien wie die Quantenelektrodynamik funktionieren. Wenn verschiedene Arten von geladenen Teilchen unterschiedlich wären$h$, jede hätte auch ihren eigenen Wert für die Feinstrukturkonstante$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c}$. Die extrem gute Übereinstimmung zwischen Messungen von$\alpha$in Systemen mit verschiedenen Arten von Teilchen bedeutet, dass alle Unterschiede in der Planckschen Konstante zwischen diesen Teilchen winzig sein müssen. Fischbach, Greene und Hughes setzen Grenzen für fraktionale Unterschiede in den Planckschen Konstanten von Elektronen, Photonen und Neutronen$< 10^{-7}$1991, und neuere Messungen legen noch stärkere Einschränkungen fest.

Vielleicht möchten Sie sich auch die Antworten auf die ähnlichen Fragen ansehen Warum ist die Plancksche Konstante für alle Teilchen gleich? und Universalität der Planckschen Konstante .

Experimentell wird die Eindeutigkeit der Planckschen Konstante durch Messungen auf der Grundlage des photoelektrischen Effekts, des Hall-Effekts, der Schwarzkörperstrahlung usw. festgestellt. Mir ist keine ernsthafte Arbeit bekannt, die dieser Behauptung widerspricht.

Die in der Frage angegebene Operatoralgebra mit zwei unterschiedlichen "Planck'schen" Konstanten beschreibt jedoch ein gültiges Quantensystem, obwohl es nicht als Quantisierung der üblichen kommutativen Algebra von Translationsoperatoren im kanonischen Phasenraum erhalten werden kann$(\mathbb{R}^{2n}, dp_i\wedge dx^i )$(zumindest nicht in irgendeiner konventionellen Theorie der Quantisierung).

Anders gesagt, nicht beides$\hbar$s entstehen als Folge des Quantisierungsprozesses, und die klassische Theorie, die durch die herkömmliche klassische Grenze erhalten wird, hängt von ihrem Verhältnis ab. Also ein unabhängiges Begrenzungsverfahren der beiden$\hbar$s wie die in 9503023 angenommene , die oben in den Kommentaren erwähnt wurde, führt nicht nur zu unterschiedlichen Quantensystemen, sondern auch zu unterschiedlichen klassischen Systemen.

Ein konstruktiver Weg, um diese Operatoralgebra zu erhalten, besteht darin, von einem Phasenraum mit einer nichtkanonischen symplektischen Struktur auszugehen:

$$\omega = \frac{\hbar}{\hbar_1}dp_1 \wedge dx^1 + \frac{\hbar}{\hbar_2}dp_2 \wedge dx^2 + ...$$ (Dies ist ein Spezialfall eines symplektischen Vektorraums $\omega$) In diesem Fall nehmen die Poisson-Klammern die Form an: $$\left \{x_1, p_1 \right \} = \frac{\hbar_1}{\hbar}$$ $$\left \{x_2, p_2 \right \} = \frac{\hbar_2}{\hbar}$$ Wenn diese Algebra nach der Regel quantisiert wird: $$\left \{A, B \right \} = C \rightarrow \left [\hat{A} ,\hat{B} \right ] =i \hbar \hat{C}$$

Eine Anmerkung

Es ist möglich, die Positionen und Impulse zu skalieren, um die Algebra kanonisch zu machen. Mathematisch modifiziert die Skalierungstransformation jedoch die symplektische Struktur, daher ist sie kein Symplektomorphismus; und genau genommen beschreibt es ein anderes mechanisches System.

Die Eindeutigkeit der Planckschen Konstante kann heuristisch aus der Sicht der Pfadintegralquantisierung verstanden werden. Dort werden die Pfade mit dem komplexen Faktor gewichtet:

$$e^{ i \frac{S}{\hbar}}$$ Wo $S$ist die Aktion. Wenn wir glauben, dass es eine Handlung gibt, die alle Phänomene in der Natur beschreibt (Theory of Everything) und ein Verfahren, das den Feynman-Pfad integral rigoros macht, dann unterliegen alle Natursysteme derselben Planckschen Konstante, derjenigen im Nenner des Komplexes Faktor.

Die Menschen verwenden jedoch unterschiedliche Vorstellungen von$\hbar$in verschiedenen Forschungszweigen finden Sie in den Artikeln im nlab zur Planckschen Konstanten- und Deformationsquantisierung .

Lassen Sie mich bitte auf zwei Fälle im Detail eingehen: Im Fall des klassischen Phasenraums$(\mathbb{R}^{2n}, dp_i \wedge dx^i)$, die Algebra der Hamiltonschen Vektorfelder auf$\mathbb{R}^{2n}$die Darstellung der Übersetzungen im Phasenraum ist kommutativ. Diese Algebra wirkt auf die Funktionen im Phasenraum, die aus den klassischen Observablen bestehen. Nach der Quantisierung werden die Translationssymmetrien des klassischen Systems angehoben, um auf Abschnitte eines Linienbündels (bestehend aus dem Quanten-Hilbert-Raum) einzuwirken. Die gehobene Algebra ist nicht mehr kommutativ. Es erhält eine zentrale Verlängerung. In einer gegebenen Darstellung dieser Algebra muss der Wert des Zentrums ein Skalar sein, da er alle anderen Observablen pendelt. Der Wert dieses Skalars ist$\hbar$, siehe Tuynmann und Wiegerinck ). Das ist auch der Grund, warum die beiden$\hbar$s in der Frage können nicht quantenmechanischen Ursprungs sein, da der geometrische Quantisierungsprozess eine einzige zentrale Erweiterung erzeugt.

Bei dem Problem der Quantisierung kann der Spin aus der geometrischen Quantisierung der zweidimensionalen Kugel gewonnen werden$S^2$(eine kurze Einführung finden Sie in Abschnitt 3.5 im folgenden Skript ). In diesem Fall ist die klassische Algebra ein Hamiltonsches Vektorfeld$SU(2)$und es erhält bei der Quantisierung keine zentrale Erweiterung. Dieselbe Algebra wirkt auf den Quanten-Hilber-Raum. In diesem Fall kann die Plancksche Konstante nur als Skalierungsfaktor der symplektischen Struktur eingeführt werden:

$$\omega = \frac{i}{\hbar}\frac{dzd\bar{z}}{(1+\bar{z} z)^2}$$ Wo $z$ist die stereografische Projektionskoordinate der Kugel. Das Problem der geometrischen Quantisierung der Kugel hat nur eine Lösung, wenn der Kehrwert der Planckschen Konstante ist ${1}{\hbar}$quantisiert wird $2S$Wo $S$ist die Spindarstellung des Quanten-Hilbert-Raums. Die klassische Grenze entspricht $\hbar \rightarrow 0$entspricht $S \rightarrow \infty$. Somit entsprechen sehr große Spindarstellungen dem klassischen Limes. Es gibt viele Arbeiten, die die Quantisierung der Planckschen Konstante diskutieren, siehe zum Beispiel die folgende Arbeit von Eli Hawkins.

Diese beiden Beispiele veranschaulichen den Unterschied in den Begriffen der Planckschen Konstante in verschiedenen Quantensystemen und warum das konzeptionelle Problem der Eindeutigkeit der Planckschen Konstante noch offen ist.