Müssen wir das Potential in einer Potenzreihe erweitern, um zu zeigen, dass [x,V(x)]=0[x,V(x)]=0[x, V(x)] = 0 ist?

An Ihrer Argumentation ist nichts falsch; Das Problem ist, dass Ihre Ausgangsannahme, dass das Potenzial als Multiplikationsoperator behandelt werden kann, gerechtfertigt werden muss. Hier ist der Grund:

Betrachten wir den potentiellen Operator$V$auf einen Staat einwirken$|\psi\rangle$. Lassen$X$bezeichnen den Positionsoperator. Die Definition der Positionsraumdarstellung von$V$auf den Ort einwirkende Raumwellenfunktion$\psi$ist wie folgt:

$$\begin{align} V\psi(x) = \langle x| V|\psi\rangle \end{align}$$ Wie Sie bemerken, könnten wir irgendwie zeigen, dass es eine Funktion gibt $\tilde V$so dass $$\begin{align} V\psi(x) = \tilde V(x)\psi(x) \tag{$\star$} \end{align}$$ dann hätten wir $$\begin{align} XV\psi(x) &= X(\tilde V(x)\psi)(x) = \tilde V(x)X\psi(x) = \tilde V(x) x\psi(x) \end{align}$$ während wir auch hätten $$\begin{align} VX\psi(x) = V(x\psi)(x) = xV\psi(x) = x\tilde V(x)\psi(x) = \tilde V(x)x\psi(x) \end{align}$$ was geben würde $XV = VX$wie gewünscht. Das Problem ist, dass diese Eigenschaft $(\star)$kommt nicht umsonst aus der obigen Definition. Wenn jedoch $V$ist beispielsweise als eine analytische Funktion definiert $\tilde V$des Positionsoperators, dann gilt diese Eigenschaft (modulo einiger mathematischer Feinheiten) für jede positive ganzzahlige Potenz $n$von $X$, hat man $$\begin{align} X^n\psi(x)=\langle x|X^n|\psi\rangle = x^n\langle x|\psi\rangle = x^n\psi(x) \end{align}$$ durch Handeln $X$links immer wieder. Diese verwendet man dann für jeden Term in der Potenzreihenentwicklung von $V$In $X$um das Eigentum zu erhalten $(\star)$.

Notiz. Ich missbrauche die Notation hier leicht und verwende das gleiche Symbol$V$für den Ortsoperator und seine Ortsraumdarstellung.

Ich stimme der Antwort von Joshphysic zu, dass Ihre Argumentation richtig ist, aber Sie müssen sich rechtfertigen$V(x)$ist ein Multiplikationsoperator (das heißt im Positionsraum).

Vielleicht hilft die Art und Weise, wie ich das sehe, etwas: Ich finde, dass in Angelegenheiten wie diesen physische Motivationen intellektuell am erfüllendsten sind.

Sie haben es vermutlich mit einer ersten quantisierten Wellengleichung mit einem "semiklassischen" Modell der Wechselwirkung mit der Außenwelt zu tun - sagen wir der Schrödinger- oder Dirac-Gleichung mit einem konservativen Potential, das dem Hamilton-Operator des Quantenteilchens durch einen zentralen, ungefähr unveränderlichen geladenen Kern aufgeprägt wird. Die Quantennatur der Ursprünge dieses Potentials wird der Einfachheit halber ignoriert – sonst hätten wir es mit einem Quanten-Vielteilchenproblem zu tun.

Also einmal der Eigenwert$x$der Position beobachtbar$X$gemessen wurde, indem die Observable auf den Zustand des Quantenteilchens angewendet wurde, besagen die Standard-Quantenpostulate, dass sich das Teilchen in der Position befinden muss, die dem Eigenzustand entspricht$x$. Im Moment unmittelbar nach der Messung ist die Position des Teilchens also sicher, und daher können wir für die Messung der „potenziellen Energie“ nur einen sinnvollen Wert postulieren$v(x)$, Wo$v(x)$ist die klassische Potentialfunktion, und der Wert des klassischen Potentials ist für den Moment nach der Messung sicher, sobald wir die Position kennen$x$.

Ebenso für jede andere Positionsmessung mit Positionseigenzustand.

Daher sehen wir, dass jeder Positionseigenzustand ein Eigenzustand der Observablen ist, die wir für das semiklassische Potential aufbauen müssen, und da die Positionseigenzustände vollständig sind, dh jeder Quantenzustand eine Überlagerung dieser Zustände ist, sehen wir, dass wir gerade vollständig definiert haben die Diagonalisierung der beobachtbaren potentiellen Energie. Er ist nämlich in Positionskoordinaten diagonal, dh er ist der Multiplikationsoperator$V \psi(x) = v(x) \psi(x)$.

Ihr Hauptresultat folgt auch aus der Berücksichtigung der Tatsache, dass Ortseigenzustände das semiklassische Potential sicher machen, dh sie sind alle Eigenzustände und die einzigen Eigenzustände für das Potential. Bei geeigneten vernünftigen Annahmen über die betreffenden Operatoren und den betreffenden Quantenzustandsraum kommutieren Operatoren genau dann, wenn sie die gleichen Eigenzustände haben.