Warum bedeutet Kommutativität, dass zwei Observable zusammen gemessen werden können?

HINTERGRUND

Was die Heisenbergsche Unschärferelation betrifft, mein Verständnis von pendelnden Observablen A ^ Und B ^ ist das Messergebnis A ich das Messergebnis nicht stört (oder damit korreliert). B J weil sie A ich Und B J entstehen durch Projektionen auf orthogonale Eigenvektoren von A ^ Und B ^ , bzw.

FRAGE

Was ich nicht verstehe ist folgendes: Was bedeutet das eigentlich A ^ beeinflusst nicht (d. h. ist unabhängig von) B ^ ? Wenn ich einen gemessenen Quantenzustand visualisiere ∣ ψ ⟩ = a   A ^ ich + β   B ^ J B. als Vektor in einer Bloch-Kugel, dann messen A ^ wird zusammenbrechen ∣ ψ ⟩ auf den Eigenvektor A ^ ich (Mit Wahrscheinlichkeit a ). Es wird jedoch keine nachfolgende Messung aktiviert B ^ vollständig randomisiert werden? Keine Angaben zu β könnten dann möglicherweise abgerufen werden. Ich verstehe daher nicht, wie man das sagen kann A ^ Und B ^ "gleichzeitig" gemessen werden können.

Antworten (1)

Wenn zwei Observable pendeln, [ A ^ , B ^ ] = 0 , dann bedeutet dies, dass Sie immer einen gemeinsamen Satz von Eigenzuständen finden können. Im einfachsten Fall der Eigenwertspektren von A ^ Und B ^ nicht entartet sind, dann impliziert dies, dass die Eigenzustände { | u N ⟩ } sind bei beiden gleich:

A ^ | u N ⟩ = A N | u N ⟩ , B ^ | u N ⟩ = B N | u N ⟩ .

Wenn Sie mit Ihrem Anfangszustand beginnen, der auf der Grundlage von Eigenzuständen von geschrieben wird A ^ , | ψ ⟩ = a | u ich ⟩ + β | u J ⟩ , dann beim Messen A ^ du erhältst A ich , Ihr Zustand unmittelbar nach der Messung ist | ψ ' ⟩ = | u ich ⟩ .

Wenn Sie dann messen möchten B ^ , müssen Sie Ihren neuen Zustand schreiben | ψ ' ⟩ in der Basis von Eigenzuständen von B ^ . Entscheidend ist dies | ψ ' ⟩ = | u ich ⟩ denn als A ^ Und B ^ pendeln, sodass sie denselben Satz von Eigenzuständen teilen. So | ψ ' ⟩ befindet sich bereits in einem Eigenzustand von B ^ , und wenn Sie messen B ^ Sie erhalten B ich mit Wahrscheinlichkeit 1. Wenn Sie gemessen haben A ^ wieder würden Sie bekommen A ich wieder, und so weiter.

Diese Diskussion wird subtiler, wenn A ^ und/oder B ^ haben ein entartetes Eigenwertspektrum, aber ich denke, das Obige ist ein guter Ausgangspunkt, um Ihre Frage zu beantworten.

Nur eine Fortsetzung dazu: Wenn zwei Observable pendeln, bedeutet das, dass alle ihre Eigenzustände gleich sind oder nur eine Teilmenge von ihnen?
Wenn zwei Observable pendeln, dann findet man immer einen gemeinsamen Satz von Eigenzuständen, der das gesamte Spektrum abdeckt. Ich habe dies kürzlich hier ausführlich beschrieben und dabei auf die Feinheiten des entarteten Falls eingegangen: youtu.be/IhJvX4H7xkA
Ich habe mir Ihr Video angesehen, aber was mich stört, ist Folgendes: Sagen wir mal [ A ^ , B ^ ] = 0 = [ A ^ , C ^ ] Aber [ B ^ , C ^ ] ≠ 0 . Dann, wenn man deinem obigen Beispiel folgt, messen A ^ B ^ A ^ An | ψ ⟩ ergibt die Messsequenz A ich , B ich , A ich wohingegen A ^ C ^ A ^ könnte eine andere Reihenfolge ergeben A J , C J , A ich wo die letzte Messung von A ^ Ist A J ≠ A ich . Es ist, als ob die beiden Sequenzen, die beide als Quanten-Nichtzerstörung gelten sollen, zu unterschiedlichen Kontexten führen (vgl. Kontextualität).
@Tfovid Das Beispiel in meiner Antwort gibt an, dass es für nicht entartete Eigenwerte gültig ist. Die von Ihnen beschriebene Situation ist schwieriger, da sie auftritt, wenn Sie entartete Eigenwerte haben. In diesem Fall ist der Eigenwert von A ^ wird sein N -fach entartet, und Sie können gültige Eigenzustände von aufbauen A ^ Herstellung verschiedener linearer Kombinationen über die N -fach entarteter Unterraum. Dann sind die Eigenzustände gemeinsam A ^ Und B ^ wird anders sein als die üblichen A ^ Und C ^ . Wenn Sie dann die Mathematik unter Berücksichtigung der Entartung bearbeiten, ergibt sich alles.
@Tfovid Ein konkretes Beispiel für die Situation, die Sie beschreiben, ist wo A ^ ist der quadrierte Drehimpulsoperator L ^ 2 Und B ^ Und C ^ zwei Drehimpulskomponenten sind, sagen wir L ^ z Und L ^ X .
Warum bedeutet Kommutativität, dass zwei Observable zusammen gemessen werden können?
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