Von Unsicherheit zu Vertauschungsbeziehungen

Betrachten Sie das berühmte Problem, sowohl den Ort als auch den Impuls eines Elektrons zu messen. Wir beginnen mit zwei Aufnahmen zu unterschiedlichen Zeiten, kümmern uns dann um den Impuls des Photons, die Wellenlänge des Lichts, die Blende der Kamera usw. Wir landen bei den klassischen Unschärferelationen; naja, eigentlich etwas mehr: wir haben eine Vorstellung von den Fehlerzeichen (z. B. wissen wir, auf welcher Seite das Elektron vom Photon getroffen wurde).

Nehmen wir nun an, wir hätten eine Idee, dass die Messungen durch Anwendung EINIGER Operatoren (nicht notwendigerweise der Standardoperatoren) auf einem Hilbert-Raum durchgeführt werden. Können wir so etwas wie die kanonischen Kommutierungsbeziehungen zwischen Orts- und Impulsoperatoren ableiten? Mit anderen Worten, ist die Implikation zwischen Kommutierung und Messreihenfolge nur in eine Richtung (die Kommutierungsbeziehungen stimmen mit den Messungen überein) oder können wir eine begrenzte Implikation in die andere Richtung geben?

Das Interesse gilt neuartigen Quantensystemen – wenn es eine Vorstellung davon gibt, wie die Messtheorie funktioniert, ist dies dann ein Leitfaden zur Algebra der Observablen? (Sowie von allgemeinem historischem oder philosophischem Interesse, ob die Quantentheorie mit anderen Operatordarstellungen eine andere Wendung genommen hätte.)

Nun, Sie können ableiten Δ A ⋅ Δ B ≥ 1 2 ⟨ [ A , B ] ⟩ aus der Annahme, dass eine Messung Erwartungswerten von Operatoren auf einem Hilbert-Raum entspricht. Wenn Ihnen also Ihre "Messtheorie" sagt, dass das Produkt der Unsicherheiten durch etwas begrenzt ist, erhalten Sie einige Informationen über den Kommutator. Beachten Sie, dass dies für alle möglichen Messungen auf allen möglichen Wellenfunktionen gelten muss (Die LHS der Ungleichung hängt von der Wellenfunktion ab!).
Danke - das sieht interessant aus. Woher kommt die Ungleichheit? Ich denke, das ist die Grenze dessen, was im Allgemeinen getan werden kann.
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/43821/2451 Für den umgekehrten Weg: Kommutierungsbeziehungen ⇒ Unsicherheit, siehe physical.stackexchange.com/q/10362/2451 , physical.stackexchange.com/q/24116/2451 und darin enthaltene Links.
Diese Notizen erklären Ihr Problem im Detail (sie beweisen Δ A Δ B ≤ 1 / 2 ⟨ [ A , B ] ⟩ damtp.cam.ac.uk/user/eal40/teach/QM2012/7comm.pdf Beweis beginnt bei eqn 331 Viel Glück Wenn Sie wirklich wollen, dass ich es zusammenfasse, kann ich es zusammenfassen, aber Sie sollten in der Lage sein, den Punkt aus den Notizen zu verstehen (I denke, sie sind Tongs)

Antworten (1)

Die Unschärferelation zwischen zwei Observablen hängt allgemein und tiefgreifend mit ihrem Kommutator zusammen. Die verallgemeinerte Unschärferelation lässt sich ganz allgemein mit einfacher Matrizenalgebra und der Cauchy-Schwartz-Ungleichung beweisen:

I) Angenommen, wir haben zwei hermitische Operatoren (auch bekannt als Observables) A ^ Und B ^ . Die möglichen Ergebnisse einer Messung sind ihre Eigenwerte und die Streuung in der Messung ist:

( Δ A ^ ) 2 = ⟨ A ^ 2 ⟩ − ⟨ A ^ ⟩ 2

Wir können jederzeit ein neues Referenzsystem festlegen < A ^ >= 0 also bekommen wir:

( Δ A ^ ) 2 = ⟨ A ^ 2 ⟩ = ∫ ψ ∗ A ^ 2 ψ D X = ⟨ ψ | A ^ 2 | ψ ⟩

Und offensichtlich gilt dasselbe für B ^ .

II) Verwendung der Cauchy-Schwartz-Ungleichung:

⟨ ψ | A ^ A ^ | ψ ⟩ ⟨ ψ | B ^ B ^ | ψ ⟩ ⩾ | ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ | 2

Man kann sofort erhalten:

( Δ A ^ ) 2 ( Δ B ^ ) 2 ⩾ | ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ | 2

III) Nun können wir den Term rechts kürzen

| ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ | ⩾ | ICH M [ ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ ] = | 1 2 ich [ ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ ∗ ] |

Wo ich verwendet habe, dass der Modul einer komplexen Zahl größer ist als ihr Imaginärteil, und dann habe ich die Tatsache verwendet, dass wenn F = R e ( F ) + ich ICH M ( F ) Dann ICH M ( F ) = 1 2 ich ( F − F ∗ ) .

IV) Weil A ^ Und B ^ sind dann beobachtbar ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | ( A ^ B ^ ) † | ψ ⟩ = ⟨ ψ | ( B ^ A ^ ) | ψ ⟩

V) Schließlich können wir mit diesem Ergebnis die Ungleichung umschreiben als:

( Δ A ^ ) 2 ( Δ B ^ ) 2 ⩾ | 1 2 ich [ ⟨ ψ | A ^ B ^ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | B ^ A ^ | ψ ⟩ ] | = | 1 2 ich [ ⟨ A ^ B ^ ⟩ − ⟨ B ^ A ^ ⟩ ] | = | 1 2 ich ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ |

Die Dispersion in zwei beliebigen hermiteschen Operatoren hängt also mit ihrem Kommutator zusammen

( Δ A ^ ) 2 ( Δ B ^ ) 2 ⩾ | 1 2 ich ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ |

Ich nehme an, dass Sie die Streuung zweier Observablen mit zunehmender Genauigkeit messen könnten, um eine Obergrenze für ihren Kommutator zu finden.

Beachten Sie, dass dies für zwei beliebige Observables funktioniert, die Sie verwenden möchten, nicht nur für kanonische wie X und P.

Aus dem Kontext kann ich das erkennen Δ A ^ 2 was meinen Sie ( Δ A ^ ) 2 und nicht Δ ( A ^ 2 ) , aber es wäre schön, wenn Sie den Unterschied explizit machen würden, besonders bei Fragen wie dieser, die viele unerfahrene Physiker anziehen.
Das Problem ist, dass die Grenze im Allgemeinen zustandsabhängig ist, sodass Sie am besten einige Informationen über die Durchschnittswerte der Kommutatoren erhalten, nicht viel mehr. Lunless können Sie garantieren, dass Sie sich in einem bestimmten Eigenzustand dieses Kommutators befinden, das ist nicht viel ... und dann vergessen Sie die Elemente außerhalb der Diagonale ...
@BobKnighton du hast absolut recht, lass es mich bearbeiten
Im Schritt V) fehlt das Quadrat auf der rechten Seite
Warum ist es wahr, dass wir uns immer ein Referenzsystem aussuchen können, das wir festlegen möchten? ⟨ A ⟩ = 0 ?
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