Die physikalische Bedeutung hinter einem Kommutator [Duplikat]

Ich wurde gerade in die Idee der Kommutatoren eingeführt und bin mir bewusst, dass es keine triviale Sache ist, wenn zwei Operatoren vorhanden sind A Und B kommutieren, dh wenn zwei hermitesche Operatoren kommutieren, dann können die Eigenwerte der beiden Operatoren mit Sicherheit gleichzeitig gemessen werden.

Aber was ist die physikalische Bedeutung, wenn zwei Operatoren nicht so kommutieren, dass sie einen bestimmten Wert ergeben? Zum Beispiel kommutieren der Positions- und Impulsoperator nicht und geben einen Wert von an ich ℏ . Welche Bedeutung hat die ich ℏ ?

Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/9194/2451 und Links darin.
Ich habe diesen Beitrag gelesen, bevor ich diesen gemacht habe. Mein Thema ist subtil anders und wird in diesem Thread nicht beantwortet.
Tipp: Wenn eine fast doppelte Frage vorhanden ist, wird empfohlen, in Ihrer Frage darauf zu verlinken und dem Leser den Unterschied zwischen Ihrer Frage und der fast doppelten Frage zu erläutern. Idealerweise sollte der Unterschied bereits aus den Titeln ersichtlich sein.
Ich denke, der Unterschied ist sowohl aus dem Text als auch aus dem Titel ersichtlich. Kein Duplikat (und auch eine bessere Frage). +1.

Antworten (1)

Wie Sie sagten, wenn zwei Operatoren pendeln, teilen sie sich Eigenvektoren. Physikalisch bedeutet dies, dass Sie für beide einen bestimmten Wert haben können. Zum Beispiel im Wasserstoffatom der Hamiltonoperator H , das ist die Energie, und J 2 , die Größe des Drehimpulses, pendeln. Ein Wasserstoffatom kann sich in einem Zustand bestimmter Energie und eines bestimmten Drehimpulses befinden. Allerdings ist der Positionsoperator X pendelt nicht mit H , also hat das Elektron in einem Zustand bestimmter Energie keine genau definierte Position.

Dann misst umgekehrt der Kommutator die Unfähigkeit für zwei Größen, bestimmte Werte im selben Zustand zu haben . Quantitativ haben wir die allgemeine Heisenbergsche Unschärferelation

Δ A Δ B ≥ 1 2 | ⟨ [ A , B ] ⟩ |
das Produkt der Unsicherheiten in A Und B mindestens die Hälfte des (absoluten Werts des) Erwartungswerts ihres Kommutators beträgt. Mit Unsicherheit meinen wir die übliche Standardabweichung,
Δ A = ⟨ A 2 ⟩ − ⟨ A ⟩ 2 .

Für den Positionsoperator X und der Impulsoperator P , der Kommutator ist nur ein Skalar, ich ℏ ; sein Erwartungswert ist immer ich ℏ . Damit erhalten wir den berühmtesten Fall des Heisenberg-Prinzips

Δ X Δ P ≥ ℏ 2 .

Jetzt könnten Sie fragen, warum sollten wir haben [ P , X ] = ich ℏ von allen Dingen. Nun, in der Hamiltonschen Formulierung der klassischen Mechanik gibt es eine Operation namens Poisson-Klammer, { F , G } . Die Poisson-Klammer hat die gleichen algebraischen Eigenschaften wie der Kommutator (beide Klammern in einer Lie-Algebra ) und erfüllt

{ X ich , P ich } = { 1 ich = J 0 ich ≠ J .
Angenommen, Sie wissen, was auch immer die Quantenmechanik ist, Quantenzustände sind Vektoren und Observable sind Operatoren, und Sie möchten herausfinden, wie diese Operatoren zusammenhängen sollten. Dann wäre es verlockend, es einfach zu versuchen
[ X , P ] = ? 1.
Das Problem ist, dass X Und P sollte hermitesch sein (damit Erwartungswerte immer real sind). Dann [ X , P ] muss antihermitisch sein. Aber das ist kein großes Problem, du kannst einfach mit multiplizieren ich :
[ X , P ] = ? ich .
Das ist algebraisch in Ordnung, aber X hat Längeneinheiten und P hat Impulseinheiten, also müssen wir dort eine Konstante setzen, um auch die richtigen Einheiten zu erhalten:
[ X , P ] = ? ich ℏ .
Ich habe dort immer noch ein Fragezeichen gesetzt, weil dies wirklich nur eine fundierte Vermutung ist, aber Experimente zeigen, dass dies die richtige Kommutierungsbeziehung ist. (Nun, man muss auch messen ℏ irgendwie.)

zur Vollständigkeit. Der Kommutator hermitescher Operatoren ist antihermitesch: [ X , P ] † = ( X P − P X ) † = P † X † − X † P † = − [ X , P ]
Die physikalische Bedeutung hinter einem Kommutator [Duplikat]
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