Wissenschaftlicher Beweis der Heisenbergschen Unschärferelation

Heisenbergs Unschärferelation besagt:

σ ( X ) σ ( P X ) ≥ ℏ 2 .

Was ist der wissenschaftliche Beweis für dieses Prinzip? Unsicherheit der Bediener

Wenn Sie einen mathematischen Beweis wollen, denke ich, dass das Einfachste, was Sie sich ansehen können, die Heisenberg-Gabor-Ungleichung ist (Gabors Originalarbeit: http://www.univie.ac.at/NuHAG/FEI/finalps/CLASSICS/gabor46.pdf , insbesondere siehe die Erklärung auf S. 432), die im Wesentlichen besagt, dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformation nicht beide beschränkt sein können und leicht zu beweisen sind.
@Qmechanic kein Betrüger: Das OP sucht nach experimentellen Beweisen, wie Sie aus physical.stackexchange.com/q/24116 ableiten können
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Antworten (4)

Das Unbestimmtheitsprinzip in der Varianzformulierung besagt, dass dies in jedem Quantenzustand der Fall ist | ⟩ , Die Quantität

⟨ ( P − < P > ) 2 ⟩ ⟨ ( X − ⟨ X ⟩ ) 2 ⟩ ≥ ℏ 2 4

Um zu verstehen, warum das Verschieben von p und x um ihren erwarteten Wert und das Quadrieren die quadrierte Unsicherheit ergibt, siehe diese Antwort .

Der Beweis erfolgt, indem man Folgendes feststellt

| ⟨ ψ | η ⟩ | ≤ | | ψ | | 2 | | η | | 2

Dies ist die Aussage, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren kleiner ist als das Produkt ihrer Längen. Sie wird als „Cauchy-Schwartz-Ungleichung“ bezeichnet. Für den obigen Spezialfall die Definition der Operatoren P = P − ⟨ P ⟩ Und Q = X − ⟨ X ⟩ (und beide Seiten quadrieren),

( ⟨ P Q ⟩ ) 2 ≤ ⟨ P P ⟩ ⟨ Q Q ⟩

Wo Sie sehen können, dass das Obige eine Instanz von Cauchy Schwarz ist, nehmen Sie:

| ψ ⟩ = P | ⟩
| η ⟩ = Q | ⟩
Während das Produkt PQ in einen Real- und einen Imaginärteil zerlegt werden kann

P Q = 1 2 ( P Q + Q P ) + 1 2 ( P Q − Q P )

Der erste Teil ist imaginär, denn wenn Sie das Hermitesch-Konjugierte nehmen, ändert es das Vorzeichen. Der zweite Teil ist reell (das liegt letztlich daran, dass P und Q reell, also hermitesch sind). Der Erwartungswert von PQ zum Quadrat ist das Quadrat der getrennten Imaginär- und Realteile

( ⟨ P Q ⟩ ) 2 = 1 4 ( ⟨ [ P , Q ] ⟩ ) 2 + 1 4 ( ⟨ P Q + Q P ) ⟩ ) 2

Da beide Quadrate positiv sind, bedeutet dies, dass die linke Seite größer als ein Viertel des Quadrats des Kommutators ist. Der Kommutator bleibt durch die Verschiebung unverändert,

[ P , Q ] = [ P , X ] = ℏ

So dass

⟨ P 2 ⟩ ⟨ Q 2 ⟩ ≥ ( ⟨ P Q ⟩ ) 2 ≥ 1 4 ( ⟨ [ P , Q ] ⟩ ) 2 = ℏ 2 4

Der Beweis erfolgt meist in einer Zeile, wie direkt oben, wobei der Cauchy-Schwarz-Schritt (erste Ungleichung), die Imaginär-/Realteil-Zerlegung (zweite Ungleichung) und die verschobenen kanonischen Vertauschungsrelationen (letzte Gleichheit) vom Leser verinnerlicht vorausgesetzt werden.

Dieser Beweis erscheint auf Wikipedia, er wird in allen QM-Büchern verwendet, aber vielleicht ist diese Erklärung klarer.

Dies ist keine Antwort mehr, nachdem das OP (in einem Kommentar) klargestellt hat, dass er nach experimentellen Beweisen sucht. Ich habe die Frage entsprechend geändert, bin mir aber nicht sicher, ob diese Antwort noch angemessen ist.
@Sklivvz: Aus Neugier, auf welche Kommentare von OP beziehst du dich?
@Qmechanic Offensichtlich war das OP mit dieser Antwort zufrieden und hat sie akzeptiert. Ich weiß also nicht, was Slivvz vorhat, wenn er sagt, dass es keine Antwort mehr ist. Bitte lass es so wie es ist. Vielleicht ist die Änderung der Frage, die Sklivvz vorgenommen hat, nicht das, was das OP wollte? Ich dachte, die Frage einer anderen Person so zu bearbeiten, dass sie die Bedeutung der Frage ändert, wird bei Physics SE als unhöflich oder zumindest unangemessen angesehen? Auf keinen Fall sollte diese Antwort deswegen gelöscht werden.
Da das OP Mitglied von TP.SE war und hier anscheinend nicht mehr aktiv ist, ist es nicht möglich, ihn nach seiner Absicht zu fragen. Wenn also überhaupt etwas getan werden sollte, würde ich die Frage lieber so zurücksetzen, dass sie wieder mit der akzeptierten Antwort übereinstimmt.
@Dilaton es wäre dann ein Dupe von physical.stackexchange.com/q/10362/2451

Eine Vielzahl von Experimenten, von denen das Doppelspaltexperiment das dramatischste ist, kann verwendet werden, um festzustellen, dass Materie am besten als Welle auf mikroskopischen Skalen dargestellt werden kann. Sobald Sie Materie als Welle darstellen, ist es natürlich, ihre Position mit der Ausbreitung der Welle und ihren Impuls mit der Wellenlänge der Welle in Verbindung zu bringen. Sobald Sie dies getan haben, sollte jedoch klar sein, dass es einen Kompromiss zwischen einem wohldefinierten „Ort“ der Welle und einer wohldefinierten „Wellenlänge“ der Welle gibt. Daher kann man Ort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig genau definieren. Zusätzliche Präzision in einem muss mit einem Verlust an Präzision im anderen einhergehen.

Es gibt keinen Kompromiss, wenn Sie ein Schlitzmuster oder ein beliebiges Kantenmuster mit einer Photonen-/Teilchenlösung ableiten. Materie wird am besten als Teilchen dargestellt, da eine Welle nur einige der Phänomene erklären kann. Nicht nur das, eine Welle kann nicht realistisch erklärt oder erklärt werden. Niemand bietet auch nur eine Beschreibung an. Wie würden Sie zum Beispiel die Wellenbewegung eines einzelnen Photons physikalisch beschreiben, das von einem Stern zur Erde wandert? Füllt es das ganze Universum aus und wenn nicht, warum nicht?
Der erste Absatz und die Abbildung beschreiben ziemlich genau ein Photon. Ich verstehe nicht, wie dies eine Welle beschreiben könnte, wenn man bedenkt, dass Wellen keine Enden haben. Wollen Sie damit sagen, dass Ihre Welle eine Art Grenzlinie hat? Es breitet sich aus, aber nicht zu weit? Das klingt nicht wie eine Welle, sondern eher wie ein lokales Energiepaket wie ein Photon.
@BillAlsept: Es ist eine lokalisierte Welle. Der Artikel beschreibt, wie Sie eine Welle lokalisieren können. Der springende Punkt der Hiesenberg-Unschärferelation ist, dass es einen Kompromiss zwischen der Lokalisierung eines Teilchens und einem wohldefinierten Impuls einer Welle gibt. Echte Teilchen in QFTs sind weder Wellen noch Teilchen.
Die Unschärferelation und die Wellenfunktion haben nichts Reales zu bedeuten, sie sind nur ein gutes Hilfsmittel zum Rechnen. Wir wissen, dass Licht wirklich physisch von dort nach hier kommt. Nun sagen Sie mir, wie Sie eine Lichtwelle in der Realität lokalisieren können.
@BillAlsept: Einzelphotonenphänomene, Wavelets, Laserinterferenzmuster usw. Es gibt buchstäblich eine Million Experimente. Weil die Berechnungswerkzeuge verwendet werden, um Phänomene vorherzusagen, und die Phänomene mit allen bekannten Experimenten übereinstimmen.
Einfacher gesagt, man muss etwas Gymnastik betreiben, um die Compton-Streuung mit einem reinen Wellenbild zu beschreiben, und man muss etwas Gymnastik betreiben, um das Doppelspaltexperiment mit einem reinen Teilchenbild zu erklären. Das Problem, diese Dinge in Einklang zu bringen, ist genau der Grund, warum der Welle-Teilchen-Formalismus geschaffen wurde. Da wird nicht nur mathematisch Däumchen gedreht.
Man muss nicht turnen, damit das Doppelspaltexperiment für Teilchen funktioniert. Alles, was Sie tun müssen, ist ein Photon als echtes Energiepaket auszunehmen. Ich habe bereits auf meiner Website, die oben auf meiner Seite aufgeführt ist, eine Möglichkeit erklärt, ein Schlitzexperiment abzuleiten. Es gibt keine Möglichkeiten, ein Schlitzexperiment mit einer Welle physikalisch zu erklären. Denn niemand kann erklären, was eine Lichtwelle wirklich ist.
@BillAlsept: Eine Welle ist eine Summe sinusförmiger Amplituden. Das ist es. Und jede Erklärung des Doppelspalt-Experiments wird darauf zurückgreifen müssen, weil die Ausgabe des Doppelspalt-Experiments eine Summe sinusförmiger Amplituden ist. Sie können semantische Spiele spielen, so viel Sie wollen, aber genau das tut das Experiment. Und die Mathematik des Doppelspalt-Experiments (abzüglich des Wellenkollaps-Zeugs) ist völlig identisch mit der Mathematik einer Wasserwelle, die auf einen Doppelspalt trifft.
und "ein echtes Energiepaket" IST EIN WAVELET. EIN WAVELET IST EINE ART VON WELLE. Wir schreiben der Einfachheit halber Beispiele mit monochromatischen ebenen Wellen, nicht weil irgendjemand glaubt, dass sie die einzigen Lösungen für Wellengleichungen oder physikalisch realisierbare Zustände sind.
Wellen können nicht alle Phänomene des Lichts erklären. Das Hauptargument, das die Welle bietet, ist zu behaupten, dass Teilchen das Doppelspaltexperiment nicht ableiten können, also sind Wellen am ehesten die Antwort? Das. Stimmt nicht und jedes Spaltexperiment kann sowohl mathematisch als auch physikalisch mit Teilchen abgeleitet werden. Eine Welle kann nicht einmal physikalisch beschrieben werden. Zum Beispiel, wie groß ist die Welle, wo sind ihre Grenzen. Wenn ein einzelnes Photon von einem Stern reiste, um zu hören, wie groß die Billionen von Wellen wären? Schwingten sie alle im ganzen Universum in alle Richtungen nur für ein Photon?
@BillAlsept: Die Interferenzphänomene, die von Licht abgeleitet werden können, sind zu zahlreich, um sie zu beschreiben. Und alle Ihre Probleme können mit Umschlägen auf Feldern gelöst werden. Zusätzlich zum Doppelspaltproblem gibt es Einzelspaltinterferenz, Beugung, Dünnfilmbeugung, Lichtkrümmung, die optische Auflösung um eine schmale Apertur herum, Interferometrie und so weiter und so weiter.
Und ein Photon ist sowohl eine Welle als auch ein Teilchen. In der Quantenmechanik sind die beiden Konzepte nicht verschieden.
Alle von Ihnen beschriebenen Lichtphänomene können von einer Teilchenbasis abgeleitet werden, wie ich es beschrieben habe. Ihr sogenanntes Envelope-Feld gibt es einfach an ein anderes Wort weiter. Woraus besteht Ihr Feld und wie erklärt es all die Phänomene, wenn es nicht Photonen sind?
@BillAlsept: Quantenteilchen sind Wellenteilchen. Sie haben Wellennatur und Teilchennatur. Du bist derjenige, der Worte neu definiert. Wellenhüllen und Wavelets sind hundert Jahre alte physikalische Konzepte.
Woraus besteht das Feld, wenn nicht aus Photonen? Wie wird eine Kraft von Punkt A nach B übertragen? Woraus besteht eine Welle, wenn nicht aus Photonen?
@BillAlsept: DIE PHOTONEN <b>SIND</b> WELLENPARTIKEL. ES GIBT KEIN „HERGESTELLT AUS“. Sie verwechseln ein Ding und seine Repräsentation.
Und noch einmal, keines dieser Experimente funktioniert mit klassischen Teilchen. Wenn Sie die Regeln so weit neu definieren, dass sie mit dem Experiment übereinstimmen, haben Sie ein Quantenteilchen, das viele Merkmale einer klassischen Welle aufweist. Und das ist der entscheidende Punkt, die klassischen Vorstellungen von Teilchen und Wellen werden auf der Quantenebene inkohärent.

Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit wissenschaftlichem Beweis meinen . Eine Hypothese kann durch wissenschaftliche Methoden validiert werden . Es ist kein Beweis wie in der Mathematik. Denn die Physik befasst sich nicht mit abstrakten mathematischen Ideen, die durch das Befolgen einiger vordefinierter Axiome und Regeln bewiesen werden können . Das hat nichts mit Beobachtung zu tun .

Wenn das Unbestimmtheitsprinzip als Wahrheit angenommen wird, können physikalische Phänomene in Bezug auf subatomare Teilchen erklärt und bis zu einem gewissen Grad durch quantenmechanische Rahmenbedingungen vorhergesagt werden.

In diesem Fall ist die Unschärferelation jedoch eine physikalische Folge der Mathematik, die zur Beschreibung der Physik verwendet wird (Operatoren von Ort und Impuls und ihre Beziehung: die Fourier-Transformation). Man könnte also argumentieren, dass es im Rahmen der Quantentheorie einen eindeutigen Beweis für die Unschärferelation gibt. Die Theorie wird dann durch verschiedene Experimente validiert, die nur so weit gehen können, dass sie der Theorie (nicht) widersprechen.

Für ein beobachtbares A , schreiben ⟨ A ⟩ für den Erwartungswert von A Und Δ A für seine Standardabweichung (so dass ⟨ A ⟩ Und Δ A beides hängt vom aktuellen Stand ab ϕ ). Wenn ⟨ A ⟩ = 0 Dann Δ A = ⟨ A 2 ⟩ .

Jetzt zwei Observables gegeben A Und B , so einstellen ⟨ A ⟩ = ⟨ B ⟩ = 0 . Lassen ϕ der aktuelle Stand sein und X eine beliebige reelle Zahl.

Dann

0 3 ≤ 3 ⟨ ( A + ich X B ) ϕ , ( A + ich X B ) ϕ ⟩ = ϕ ¯ A 2 ϕ + X 2 ϕ ¯ B 2 ϕ − ich X ϕ ¯ B A ϕ + ich X ϕ ¯ A B ϕ = ⟨ A 2 ⟩ + X ⟨ ich [ A , B ] ⟩ + X 2 ⟨ B 2 ⟩
Dies gilt für alle Realen X also hat das Quadrat in der letzten Zeile entweder keine echten Nullen oder eine doppelte Null; In jedem Fall ist die Diskriminante nicht positiv:
⟨ ich [ A , B ] ⟩ 2 − 4 ⟨ A 2 ⟩ ⋅ ⟨ B 2 ⟩ 3 ≤ 3 0
wie benötigt.

Wissenschaftlicher Beweis der Heisenbergschen Unschärferelation
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