Kommutator und Messreihenfolge

Es tut mir leid, aber der Kommutator hat einen direkten Bezug zur Möglichkeit gleichzeitiger Messungen.

Der beobachtbare selbstadjungierte Operator kann als Summe von selbstadjungierten orthogonalen Projektoren auf Eigenräumen dargestellt werden.

$$\begin{equation} \hat{A}=\sum_k \lambda_k \mathcal{P}_{\lambda_k},\quad \hat{A}\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle=\lambda_k\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle,\quad \mathcal{P}_{\lambda_k}\mathcal{P}_{\lambda_m}=\delta_{km}\mathcal{P}_{\lambda_k},\quad \mathcal{P}_{\lambda_k}=\mathcal{P}_{\lambda_k}^\dagger \end{equation}$$ Insbesondere wenn alle Eigenräume eindimensional sind, können wir schreiben $\mathcal{P}_{\lambda_k}=|\lambda_k\rangle\langle\lambda_k|$

Die ideale Messung in der Quantenmechanik ist wie folgt definiert. Wenn Sie messen$A$und bekommen, dass es gleich ist$\lambda_k$dann ändert sich der Zustand durch Projektion auf den entsprechenden Eigenraum,

$$\begin{equation} |\psi\rangle\mapsto \frac{1}{\sqrt{P_\psi(A=\lambda_k)}}\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle, \end{equation}$$ mit Wahrscheinlichkeit (bei kontinuierlichem Spektrum - Wahrscheinlichkeitsdichte) gegeben durch, $$\begin{equation} P_\psi(A=\lambda_k)=\langle\psi|\mathcal{P}_{\lambda_k}^\dagger\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle=\langle\psi|\mathcal{P}_{\lambda_k}|\psi\rangle \end{equation}$$ Wenn Sie dies auf zwei aufeinanderfolgende Messungen von zwei Observablen anwenden $A$Und $B$Es kommt vor, dass Sie keine gleichzeitigen Messungen definieren können, ohne die Reihenfolge anzugeben, in der Sie messen. Das liegt daran, dass im Allgemeinen $$\begin{equation} \langle\psi|\mathcal{P}_{A=\lambda_k}^\dagger\mathcal{P}_{B=\mu_m}^\dagger\mathcal{P}_{B=\mu_m}\mathcal{P}_{A=\lambda_k}|\psi\rangle\neq \langle\psi|\mathcal{P}_{B=\mu_m}^\dagger\mathcal{P}_{A=\lambda_k}^\dagger\mathcal{P}_{A=\lambda_k}\mathcal{P}_{B=\mu_m}|\psi\rangle \end{equation}$$

Die einzige Ausnahme ist, wenn Observables pendeln. Das liegt an der gleichzeitigen Diagonalisierbarkeit - der Hilbert-Raum ist zufällig eine direkte Summe von Eigenräumen$(\lambda_k,\mu_m)$wobei alle Zustände gleichzeitig Eigenzustände von sind$A$Und$B$. Daraus folgt das$[\mathcal{P}_{\lambda_k},\mathcal{P}_{\mu_m}]=0$und Sie können simultane Messungen von definieren$A$Und$B$sich nicht um ihre Bestellung kümmern.

Mir ist gerade klar geworden, warum die Anwendung eines Operators keine Messung ist. Lassen Sie mich meine Antwort entsprechend aktualisieren.

Ein Axiom der Quantenmechanik ist, dass eine Messung einen Zustand in einen Eigenzustand des entsprechenden Operators überführt. Wenn zwei Operatoren pendeln,$[A, B] = 0$, dann kann eine Basis gefunden werden, in der beide Operatoren diagonal sind. Daher können Zustände gleichzeitig Eigenzustände beider Operatoren sein.

Die bloße Anwendung eines Operators auf einen Zustand bringt die Wellenfunktion jedoch nicht zum Kollabieren. Nehmen Sie also den harmonischen Oszillator mit Eigenzuständen$|n\rangle$als Beispiel. Mein Betreiber ist$\hat n$, der Besetzungsnummernoperator. Wenn ich einen Zustand nehme, der kein Eigenzustand ist, wie z$|\psi\rangle = |1\rangle + |2\rangle$, die Anwendung des Operators gibt mir Folgendes:

$$\hat n |\psi\rangle = \hat n|1\rangle + \hat n|2\rangle = |1\rangle + 2 |2\rangle \,.$$ Dieser ist weder proportional zum Ausgangszustand, noch ein reiner Eigenzustand $\hat n$. Wenn eine tatsächliche Messung durchgeführt werden sollte, müsste es sich nach den Axiomen der Quantenmechanik um einen reinen Eigenzustand handeln $\hat n$. Wir hätten eine 50% Chance, die wir hatten $n = 1$oder $n = 2$aus der Messung. Das System wäre dann in beiden $|1\rangle$oder $|2\rangle$aber keine Linearkombination mehr.

Daher ist die einfache Anwendung eines hermiteschen Operators, der eine Observable ist, keine Messung. Der Kollaps der Wellenfunktion auf einen reinen Eigenzustand des Operators wird ebenfalls benötigt. Und das fehlt, wenn man den Kommutator auf einen Zustand anwendet.