Durchschnittswert einer Observable

Question

Durchschnittswert einer Observable

Physik
Betreiber
beobachtbar
Quantenmechanik
Messproblem

Maria

Ich wurde durch das Konzept des Durchschnittswerts einer Observable verwirrt.

Ich weiß das, wenn wir eine physikalische Größe messen $A$ in einem bestimmten Zustand beschrieben durch $\psi_1$ , erhalten wir nur den Eigenwert $a$ des Betreibers $\hat{A}$ .

Also theoretisch der Wert der physikalischen Größe $A$ die wir messen, ist gleich dem Eigenwert von $\hat{A}\psi_1=a\psi_1$ .

Dann gibt es eine Formel, um den Durchschnittswert zu finden $\langle A\rangle$ . Und das ist auch ein Erwartungswert .

Bedeutet das normal $\langle A\rangle=a$ ?

Dann verwirrt mich der weltweite „Durchschnitt“ in „Durchschnittswert“. $\langle A\rangle$ ''. Ist dies der Durchschnittswert der physikalischen Größe ? $A$ in all seinen Zuständen?

Und schließlich gehen wir hier davon aus, dass mein System nur ein System hat, das von beschrieben wird $\psi$ ? Zum Beispiel gibt es nur ein Teilchen. Ist es möglich, dass ich drei Systeme (drei Teilchen) habe, die durch unterschiedliche Eigenfunktionen beschrieben werden? $\psi$ und Eigenwert $a$ ?

Ich verwechsle alles.

blauvonblau

Typischerweise werden Erwartungswerte bei der Untersuchung als statistische Darstellungen des gemessenen Parameters betrachtet. Wir können Erwartungswerte für erhalten

x

$x$ ,

\hat{p}

$\hat{p}$ ,

E

$E$ usw. durch Integrieren über den gesamten zulässigen Raum für das betreffende Teilchen, die Wellenfunktion, ihre komplexe Konjugierte und den Operator selbst. z.B)

⟨ x ⟩ = \int ψ (x) ψ^{*} (x) x d x

$\langle x\rangle = \int\psi (x)\psi^*(x)x dx$

blauvonblau

Weiter,

ψ

$\psi$ beabsichtigt, den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben. Für drei Teilchen würden drei verschiedene Wellenfunktionen für die Teilchen existieren, die von der Masse des Teilchens und dem es begrenzenden Potential abhängen. Für drei identische Teilchen werden sich die Wellenfunktion und die Eigenzustände nicht unterscheiden, es sei denn, Sie berücksichtigen die Zeitabhängigkeit in den Anfangsbedingungen von

Ψ (x, t = 0)

$\Psi(x,t=0)$ abweichen.

blauvonblau

Schließlich, wenn wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung darin betrachten

\hat{H} ψ = E ψ

$\hat{\mathcal{H}}\psi = E\psi$ , macht es Sinn, dass ein Energieeigenwert

E

$E$ =

⟨ E ⟩

$\langle E \rangle$ ? Sie sind eindeutig unterschiedliche Mengen, wie

E

$E$ stellt ein quantisiertes Energieniveau dar, und

⟨ E ⟩

$\langle E \rangle$ stellt dar, was wir zu messen erwarten

E

$E$ nach seinem Aufenthaltsort. Dies ist die statistische Darstellung, die ich zuvor erwähnt habe.

Maria

Wenn Sie sagen: "Für drei identische Teilchen werden sich die Wellenfunktion und die Eigenzustände nicht unterscheiden", verstehe ich, warum die Wellenfunktion gleich wäre, aber ich verstehe nicht, warum sich die Eigenzustände nicht unterscheiden würden. Könnten wir auch interpretieren, dass sich diese drei Teilchen in einem periodischen Kasten befinden?

blauvonblau

Der periodische Kasten ist repräsentativ für die Potentialfunktion, in der das Teilchen existiert. Betrachten Sie den unendlichen quadratischen Brunnen, wo Teilchen durch unendliche Potentialwände begrenzt sind. Die zeitunabhängigen Lösungen für

ψ (x)

$\psi(x)$ wird für jedes Teilchen gleich sein, vorausgesetzt, es handelt sich um identische Teilchen und außer der potentiellen Funktion gibt es nichts, was mit den Teilchen interagiert. Die Eigenzustände sind ebenfalls alle gleich, es sei denn , jedes Teilchen hat andere Anfangsbedingungen als die anderen Teilchen, was durch den Zustand definiert ist

Ψ (x, t)

$\Psi(x,t)$ für

t = 0

$t=0$

Antworten (3)

Durchschnittswert einer Observable

Typischerweise werden Erwartungswerte bei der Untersuchung als statistische Darstellungen des gemessenen Parameters betrachtet. Wir können Erwartungswerte für erhalten $x$ , $\hat{p}$ , $E$ usw. durch Integrieren über den gesamten zulässigen Raum für das betreffende Teilchen, die Wellenfunktion, ihre komplexe Konjugierte und den Operator selbst. z.B) $\langle x\rangle = \int\psi (x)\psi^*(x)x dx$
Weiter, $\psi$ beabsichtigt, den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben. Für drei Teilchen würden drei verschiedene Wellenfunktionen für die Teilchen existieren, die von der Masse des Teilchens und dem es begrenzenden Potential abhängen. Für drei identische Teilchen werden sich die Wellenfunktion und die Eigenzustände nicht unterscheiden, es sei denn, Sie berücksichtigen die Zeitabhängigkeit in den Anfangsbedingungen von $\Psi(x,t=0)$ abweichen.
Schließlich, wenn wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung darin betrachten $\hat{\mathcal{H}}\psi = E\psi$ , macht es Sinn, dass ein Energieeigenwert $E$ = $\langle E \rangle$ ? Sie sind eindeutig unterschiedliche Mengen, wie $E$ stellt ein quantisiertes Energieniveau dar, und $\langle E \rangle$ stellt dar, was wir zu messen erwarten $E$ nach seinem Aufenthaltsort. Dies ist die statistische Darstellung, die ich zuvor erwähnt habe.
Wenn Sie sagen: "Für drei identische Teilchen werden sich die Wellenfunktion und die Eigenzustände nicht unterscheiden", verstehe ich, warum die Wellenfunktion gleich wäre, aber ich verstehe nicht, warum sich die Eigenzustände nicht unterscheiden würden. Könnten wir auch interpretieren, dass sich diese drei Teilchen in einem periodischen Kasten befinden?
Der periodische Kasten ist repräsentativ für die Potentialfunktion, in der das Teilchen existiert. Betrachten Sie den unendlichen quadratischen Brunnen, wo Teilchen durch unendliche Potentialwände begrenzt sind. Die zeitunabhängigen Lösungen für $\psi(x)$ wird für jedes Teilchen gleich sein, vorausgesetzt, es handelt sich um identische Teilchen und außer der potentiellen Funktion gibt es nichts, was mit den Teilchen interagiert. Die Eigenzustände sind ebenfalls alle gleich, es sei denn , jedes Teilchen hat andere Anfangsbedingungen als die anderen Teilchen, was durch den Zustand definiert ist $\Psi(x,t)$ für $t=0$

Benutzer108787 · Answer 1

Du verwechselst ziemlich viel :)

Beginnen Sie damit, diese Gleichung zu erhalten $\hat{A}|\psi_1 \rangle =a |\psi_1\rangle$ zuerst festgenagelt.

Sie wenden einen hermiteschen Operator an, $\hat{A}$ zu einem ket $|\psi_1 \rangle$ und es gibt Ihnen einen geeigneten Eigenwert $a$ .

Also die $\hat{X}$ Operator gibt Ihnen die beobachtbare Position $x$ , gilt ebenfalls $\hat{P}$ gibt Ihnen die wirklich beobachtbare Dynamik $p$ , verknüpft mit $|\psi_1 \rangle$ .

Ich gehe davon aus, dass Sie wissen, was die Verwendung eines hermiteschen Operators bedeutet.

Bedeutet das normal $<A>=a$ ?

Sie sollten diesen Website-Artikel später lesen: Durchschnittswert für eine vollständigere Beschreibung, aber eine Zusammenfassung für den Moment ist:

NEIN, $<A>$ ist ungleich zu $a$ , Im Algemeinen.

$<A>$ ist eine Vorhersage des Durchschnittswerts wiederholter Messungen, wohingegen $\hat{A}|\psi_1 \rangle =a |\psi_1\rangle$ ist der Wert von 1 (nur 1) Einzelmessung.

Angenommen, Sie haben eine Wellenfunktion, von der Sie wissen, dass sie den Grundzustand eines Teilchens beschreibt $m$ .

Jetzt wollen Sie das durchschnittliche Momentum finden

< P >= ⟨ ψ_{1} | \hat{P} | ψ_{1} ⟩

$<P> = \langle \psi_1 | \hat P|\psi_1\rangle$

Für unsere Zwecke sind Erwartungswert und Durchschnittswert die gleiche Idee.

Also, wenn Sie trainieren $<P> = \langle \psi_1 | \hat P|\psi_1\rangle$ Im 1D-Grundzustand des einfachen Boxpotentials werden Sie feststellen, dass es gleich 0 ist.

Das liegt daran, dass der durchschnittliche Impuls des Teilchens unter diesen Bedingungen Null ist. Das Teilchen hat den gleichen Impuls in zwei entgegengesetzte Richtungen, also ist sein Durchschnittswert Null.

Dann verwirrt mich der weltweite „Durchschnitt“ in „Durchschnittswert“. $\langle A\rangle$ ''. Ist dies der Durchschnittswert der physikalischen Größe ? $A$ in all seinen Zuständen?

Nein .... Es ist der Durchschnittswert in einem Zustand, wo Sie das A dazwischen legen, zum Beispiel die Funktionen für den Grundzustand.

Wenn Sie dann den Mittelwert für den ersten angeregten Zustand finden möchten, legen Sie das A zwischen die Funktionen, die den ersten angeregten Zustand beschreiben.

Das machst du dann für jeden Energiezustand, dessen Funktionen du kennst.

Bildquelle: Energieniveaus

Und schließlich gehen wir hier davon aus, dass mein System nur ein System hat, das von beschrieben wird $\psi$ ? Zum Beispiel gibt es nur ein Teilchen.

Ja, es gibt nur 1 Teilchen. Nichts für ungut, aber ich würde absolut, auf jeden Fall, im Moment ganz und gar daran festhalten, etwas über einen Teilchenzustand zu lernen.

Ist es möglich, dass ich drei Systeme (drei Teilchen) habe, die durch unterschiedliche Eigenfunktionen beschrieben werden? $\psi$ und Eigenwert $a$ ?

Nein. Ich würde mir zu diesem Zeitpunkt keine Sorgen um 3-Partikel-Systeme machen, das ist normalerweise weiter unten im Kurs, dh Wochen oder Monate, wenn Sie gerade erst anfangen.

Josh Pilipovsky · Answer 2

Der Durchschnittswert einiger Observablen wird speziell als Durchschnittswert von Messungen an einem Ensemble von Zuständen definiert. Stellen Sie es sich wie ein Regal vor und in diesem Regal stehen 1.000.000 Gläser. In jedem Glas haben Sie den gleichen Zustand $\Psi$ . Dann haben Sie 1.000.000 Doktoranden, die jeder messen, sagen die $x$ Position all dieser identischen Staaten. Der Durchschnitt aller dieser Werte ist Ihr Erwartungswert, $⟨x⟩$ . Der Erwartungswert ist also der Durchschnittswert der Messung im selben Zustand, was der entscheidende Teil ist.

Ein gutes Beispiel hierfür wäre ein Spin $\frac{1}{2}$ Teilchen wie ein Elektron. Angenommen, wir haben ein Elektron in der $|+x⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} |+z⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} |-z⟩$ Zustand, und wir wollen den Erwartungswert der Observablen wissen $S_z$ in diesem Staat. Nun, das kannst du mit der Formel berechnen

⟨ S_{z} ⟩ = \sum_{+, -} | C_{N} |^{2} S_{N},

$⟨S_z⟩ = \sum_{+,-} |c_n|^2 S_n,$ oder Sie können konzeptionell darüber nachdenken. Auch hier haben Sie 1.000.000 Gläser mit diesem Zustand darin. Sie bringen jetzt 1.000.000 Doktoranden dazu, eine Messung über die Zustände des Spins in der zu machen

z

$z$ Richtung. Sie würden erwarten, dass die Hälfte von ihnen hochgefahren wird (

+ \frac{ℏ}{2}

$+\frac{\hbar}{2}$ ) und haben von ihnen Spindown (

- \frac{ℏ}{2}

$-\frac{\hbar}{2}$ ), was wir auch an den Koeffizienten der erkennen können

| + x ⟩

$|+x⟩$ Zustand. Also der Erwartungswert

⟨ S_{z} ⟩ = 0

$⟨S_z⟩ = 0$ in diesem Fall. Ich hoffe, das klärt Ihre Zweifel.

Gert · Answer 3

Eine schnelle Klärung zu Durchschnitts-, Mittel- und Erwartungswert .

Hier sind zwei Arrays von Würfelwürfen, die mit dem folgenden Zufallsgenerator erhalten wurden:

{X_{1}} = (2, 2, 1, 6, 5, 2, 4, 6, 6, 5)

$\{x_1\}=(2,2,1,6,5,2,4,6,6,5)$

{X_{2}} = (3, 4, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 3, 2, 2, 5, 2, 1, 1)

$\{x_2\}=(3,4,4,4,5,2,6,2,2,4,4,5,5,3,2,2,5,2,1,1)$ Der Stichprobendurchschnitt (Stichprobenmittelwert) von beiden ist:

{\bar{X}}_{1} = 3.9

$\bar{x}_1=3.9$

{\bar{X}}_{2} = 3.25

$\bar{x}_2=3.25$ Natürlich wissen wir, dass der wahre Mittelwert (oder Populationsmittelwert ) gegeben ist durch:

⟨ μ ⟩ = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5

$\langle\mu\rangle=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$

Das nennt man in der Quantenphysik Erwartungswert . Aber es ist klar, dass dieser Begriff zumindest in gewisser Weise eine sehr falsche Bezeichnung ist : Erwartet jemand wirklich, einen zu werfen? $3.5$ ? Natürlich nicht: die Wahrscheinlichkeit, a zu werfen $3.5$ Ist $0$ !

Ebenso die Wellenfunktion eines Teilchens in einem 1D- Längenfeld $a$ Ist:

ψ_{N} (X) = \sqrt{\frac{2}{A}} Sünde (\frac{N π X}{A}) für N = 1, 2, 3, . . .

$\psi_n(x)=\sqrt{\frac2a}\sin\Big(\frac{n\pi x}{a}\Big)\:\text{for } n=1,2,3,...$

Der Erwartungswert der Position $\langle x\rangle$ lässt sich leicht berechnen zu:

⟨ X ⟩ = \frac{A}{2}

$\langle x\rangle=\frac{a}{2}$

Es kann aber auch gezeigt werden, dass die Wahrscheinlichkeit , das Teilchen zu finden, bei $x=a/2$ ist in der Tat $0$ !

Durchschnittswert einer Observable

Maria

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Maria

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Benutzer108787

Josh Pilipovsky

Gert

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