Warum müssen X^X^\hat{X} und P^P^\hat{P} Ort und Impuls entsprechen?

Soweit ich weiß, behandeln wir in der QM Observablen als Operatoren, und die Eigenwerte dieser Operatoren sind die möglichen Werte, die wir von den Observablen messen können. Es ist normalerweise einfacher, in der Eigenbasis eines Operators zu arbeiten, wenn wir über seine entsprechende Observable sprechen. Ich habe Zweifel bezüglich der Interpretation von zwei Operatoren in QM.

Die beiden Texte, denen ich mich zugewandt habe, sagen beide etwas in der folgenden Richtung:

Erster Teil

Wenn wir eine Funktion haben F ( X ) , können wir uns als Projektion des Vektors vorstellen | F ⟩ auf der | X ⟩ Basis. Für diese Grundlage müssen wir haben ⟨ X | X ' ⟩ = δ ( X − X ' ) , so dass die Basiskets orthogonal sind und die Vollständigkeitsrelation erfüllt ist.

Als nächstes definieren wir einen Operator K ^ = − ich D ^ Wo D ^ ist der Differentialoperator. Dieser Operator hat eine Eigenbasis | k ⟩ . Interessanterweise gibt es eine erstaunliche Beziehung zwischen der Funktion F ( k ) , welches ist | F ⟩ ausgebaut im | k ⟩ Grundlage und F ( X ) , die Funktion, über die wir zuvor gesprochen hatten. Sie sind die Fourier-Transformationen der anderen:

F ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − ich k X F ( X ) D X
Bis hierhin kann ich bequem folgen. Es musste lediglich das Eigenwertproblem für gelöst werden K ^ im | X ⟩ Basis, die die Beziehung zwischen den beiden Basen angibt, und dann ein paar Berechnungen durchlaufen.

Zweiter Teil

Mein Problem liegt in der Interpretation der Operatoren, von denen wir gerade gesprochen haben. Nur weil wir ihnen die Namen gegeben haben X ^ Und K ^ , müssen wir sie als Position interpretieren X und Wellenzahl k ? Ich verstehe, dass jeder Observable ein hermitescher Operator entspricht, aber was wäre, wenn wir zum Beispiel mit zwei benannten Operatoren begonnen hätten A ^ Und B ^ anstatt X ^ Und K ^ , und folgendes gefunden:

F ( A ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − ich A B F ( B ) D B

Wo wir mit den Basen arbeiten | A ⟩ Und | B ⟩ . Wenn ich diese Briefe sehe, entscheide ich mich vielleicht dazu, mit ihnen in Verbindung zu treten A ^ die Beschleunigung eines Teilchens und mit B ^ die Position des Teilchens oder noch schlimmer, das Magnetfeld, in dem sich das Teilchen befindet. Ich weiß, dass dies ein verrücktes Beispiel ist, aber ich möchte meinen Standpunkt veranschaulichen – was sagt uns, dass die Position und der Impuls (oder die Wellenzahl) in QM muss mit den Operatoren verknüpft werden, die ich im ersten Teil erwähnt habe? Vielen Dank im Voraus.

PS. Falls jemand neugierig ist, ich lese die Texte von Shankar und Zettili.

Antworten (2)

Die Antwort kann tiefer sein, als Sie erwarten.

Der Betreiber K dass das OP definiert --- hier wird es aufgerufen − ich ∇ X --- ist der Generator von Raumübersetzungen. Und der Betreiber X --- hier genannt X --- ist der Generator von Momentumübersetzungen. Wenn Sie sie potenzieren, um die entsprechenden Einheitsgruppen der Übersetzung mit einem Parameter zu bilden, erhalten Sie v ( ξ ) = e ich ξ ⋅ X , Und T ( Q ) = e Q ⋅ ∇ X . Ihre Wirkung auf eine Wellenfunktion ψ ( X ) (Stellungsvertretung) bzw ψ ^ ( k ) (Impulsdarstellung) ist recht klar:

( T ( Q ) ψ ) ( X ) = ψ ( X + Q ) , ( v ^ ( ξ ) ψ ^ ) ( k ) = ψ ^ ( k + ξ ) . 1
Diese beiden Operatoren erfüllen aufgrund von Weyl (im Wesentlichen per Definition) die folgende Kommutierungsbeziehung:
v ( ξ ) T ( Q ) = e − ich ξ ⋅ Q T ( Q ) v ( ξ ) .

Nun gibt es einen sehr tiefen Satz von Stone und von Neumann, der besagt, dass jede (irduzible) Darstellung als Operatoren auf einem Hilbert-Raum einer solchen Familie von Objekten vorliegt { v ( ξ ) , ξ ∈ R D } ∪ { T ( Q ) , Q ∈ R D } , die die Weyl-Kommutationsrelation erfüllen, ist unitär äquivalent zu der oben beschriebenen Darstellung in L 2 ( R D ) .

Es gibt also bis auf unitäre Transformationen eine einzigartige Möglichkeit, solche Operatoren darzustellen; und dieser Weg ist durch Übersetzungsoperatoren weiter L 2 ( R D ) . Aus der Weylschen Kommutierungsrelation können Sie nun die Kommutierungsrelation für die Generatoren erhalten, und das ist

[ X , − ich ∇ ] = ich .

Also die Betreiber X Und − ich ∇ haben alle beobachteten physikalischen Eigenschaften der Orts- und Impulsoperatoren: Sie erfüllen die kanonischen Kommutierungsbeziehungen (Quantisierung der klassischen Poisson-Klammer), und sie sind die Erzeuger von Raum- und Impulstranslationen, wenn sie darauf einwirken L 2 ( R D ) . Außerdem handelt es sich um spezielle Operatoren, die nur einheitlich zu den Hilbert-Räumen darstellbar sind L 2 eins. Meiner Meinung nach sind das genug Beweise, um sie zweifellos zur Beschreibung von Ort und Impuls in der Quantenmechanik zu verwenden.

1 . Natürlich in gewohnter Darstellung ( v ( ξ ) ψ ) ( X ) = e ich ξ ⋅ X ψ ( X ) .

Ich würde sagen, die Antwort ist ziemlich einfach. Wenn Sie verschiedene Experimente durchführen, um die Position (oder den Impuls) eines Teilchens zu messen, gibt Ihnen QM nur konsistente und genaue Vorhersagen, wenn die mathematischen Symbole verwendet werden X Und P der gemessenen Position oder dem gemessenen Impuls zugeordnet sind.

Ort und Impuls sind jedoch nicht die einzigen kanonisch konjugierten Operatoren in der Quantenmechanik. Andere Beispiele sind die Quadraturen des elektrischen Feldes oder die Phasen- und Zahlenoperatoren eines Bose-Einstein-Kondensats. In jedem Fall geben die QM-Modelle gute Vorhersagen, wenn die diesen Observablen zugeordneten Operatoren ähnliche Eigenschaften erfüllen X Und P .

Warum müssen X^X^\hat{X} und P^P^\hat{P} Ort und Impuls entsprechen?
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