Was ist der Impulsoperator?

Die Wellenfunktion ist kein Operator; das Wort „Operator“ in der Quantenmechanik bedeutet etwas Genaueres als „Funktion“. Man könnte sagen, dass der Momentum-Operator „etwas ist, das in ein Integral eingesetzt werden muss, um den Erwartungswert des Momentums zu erhalten“; lassen Sie mich erklären.

Das wissen wir für ein Teilchen in einem Zustand$\psi$,

$$\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x |\psi(x,t)|^2 \mathrm{d}x$$

Weil$|\psi(x,t)|^2\mathrm{d}x$ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen in dem kleinen Intervall gefunden wird$(x,x+\mathrm{d}x)$zum Zeitpunkt$t$. Lassen Sie uns dies differenzieren und die Ableitung in das Integral schieben

$$\frac{\mathrm{d} \langle x \rangle}{\mathrm{d}t} = \int_{-\infty}^{+\infty} x \frac{\partial|\psi(x,t)|^2}{\partial t} \mathrm{d}x$$

Jetzt verwenden wir die Schrödinger-Gleichung, um die zeitliche Ableitung durch die räumliche Ableitung zu ersetzen

$$\frac{\mathrm{d} \langle x \rangle}{\mathrm{d}t} = \frac{i\hbar}{2m}\int x \frac{\partial}{\partial x} \left(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x} - \psi\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right) \mathrm{d}x$$

Verwenden Sie die partielle Integration, um die äußere Integration zu eliminieren$\frac{\partial}{\partial x}$und unterscheiden die$x$

$$\frac{\mathrm{d} \langle x \rangle}{\mathrm{d}t} = -\frac{i\hbar}{2m}\int \left(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x} - \psi\frac{\partial \psi^*}{\partial x}\right) \mathrm{d}x$$

Führen Sie im zweiten Term eine weitere partielle Integration durch

$$\frac{\mathrm{d} \langle x \rangle}{\mathrm{d}t} = -\frac{i\hbar}{m}\int \left(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\right) \mathrm{d}x$$

Mal$m$

$$\langle p \rangle = \int \psi^* \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\right) \psi \mathrm{d}x$$

Beachten Sie, dass dies die gleiche Form wie das Integral für ist$\langle x \rangle$, außer wir verwenden$\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}$anstelle von$x$. Deshalb werden sie Impuls- bzw. Positionsoperatoren genannt; Sie sind die Operatoren, zwischen denen Sie platzieren$\psi^*$Und$\psi$in das Integral, um den Erwartungswert dieser Variablen zu erhalten. Es gibt auch Operatoren für Drehimpuls, Energie usw.

Natürlich gibt es andere nützlichere Definitionen eines Operators. Beachten Sie zum Beispiel, dass wenn wir schreiben$\psi$als Summe von Sinusfunktionen ist jede Sinusfunktion eine Eigenfunktion des Impulsoperators, und das Integral wird sehr einfach auszuwerten; daher könnten wir uns den Impulsoperator als einen Operator vorstellen, der die Summe der sinusförmigen Komponentenfunktionen (Impulseigenzustände) von zurückgibt$\psi$, gewichtet nach Momentum, so stelle ich es mir gerne vor.

Der Impulsoperator wirkt wie andere Operatoren in der Quantenmechanik auf eine gegebene Wellenfunktion (Zustand). Die Multiplikation von Operatoren in der linearen Algebra ist dasselbe wie sie auf ein mathematisches Objekt "einwirken". Ursprünglich hieß die Quantenmechanik „Matrixmechanik“; Wenn Sie also lineare Algebra studieren, studieren Sie in Wirklichkeit auch Quantenmechanik. Der Impuls ist ein hermetischer Operator, und seine Eigenwerte entsprechen den möglichen Werten, die der Impuls bei einer bestimmten Messung annehmen kann. Wenn der Impulsoperator$\mathbf{A}$"wirkt auf" einen bestimmten Zustand$\langle a |$("Zustand" ist hier äquivalent zu "Eigenvektor"), der Zustand hat einen entsprechenden Eigenwert$a$. Wir würden dies in einer Gleichung schreiben als

$$\mathbf{A} \langle a | = a \langle a |$$ Dies bedeutet, dass in einer Messung des Beobachtbaren $\mathbf{A}$eines Systems in einem Zustand $\langle a |$Sie würden einen Wert von zurückgeben $a$innerhalb der Unsicherheitsgrenzen.