Eigenzustände von Impuls und Energie eines freien Teilchens

Du fragst für

die Eigenvektoren von$\hat{p}^2$die keine Eigenvektoren von sind$\hat{p}$.

Diese existieren: jede ebene Welle$|p⟩$ist ein Eigenvektor von$\hat p$mit Eigenwert$p$, und ein Eigenvektor von$\hat{p}^2$mit Eigenwert$p^2$, was bedeutet, dass die ebene Welle$\left|-p\right>$hat den gleichen Eigenwert von$\hat{p}^2$. Dies bedeutet wiederum, dass jede Linearkombination der beiden immer noch ein Eigenvektor von ist$\hat{p}^2$.

Als schnelles Beispiel dafür, wie Sie diese in eine Basis verwandeln, können Sie einfach die Basis betrachten

$$\left\{\frac{\left|p\right>+\left|-p\right>}{\sqrt{2}}\middle|\, p\geq0\right\} \bigcup \left\{\frac{\left|p\right>-\left|-p\right>}{\sqrt{2}}\middle|\, p<0\right\} ,$$ die aus den reellwertigen ebenen Wellen mit Ortsdarstellungs-Wellenfunktionen besteht $$\left<x\right|\frac{\left|p\right>+\left|-p\right>}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(px) \quad\text{and}\quad \left<x\right|\frac{\left|p\right>-\left|-p\right>}{\sqrt{2}} = \frac{i}{\sqrt{\pi}}\sin(px) ,$$ bzw. Es sollte eine relativ einfache Übung für Sie sein, die Vollständigkeitsrelation über die zu transformieren $|p⟩$Staaten zu zeigen, dass diese eine Basis sind. (Kümmern Sie sich dabei übrigens nicht um die Null: Alle Ihre Integrale sind Lebesgue-Integrale, und punktweise Werte spielen keine Rolle.)

In drei Dimensionen wird es natürlich etwas komplizierter (Sie müssen die Bedingung ändern$p>0$für ein Set, das die Hälfte von allem enthält$p$Platz, für dieses Beispiel), aber Sie haben auch mehr Freiheit, da es einen viel größeren Satz von gibt$\mathbf p$s, die dasselbe teilen$p^2$.

Angenommen, die Dimension des Raums ist$D$. Lassen$f:L(\Phi)\rightarrow L(\Phi)$eine Funktion sein, die lineare Operatoren zu linearen Operatoren überträgt, die sich in der Schließung von Polynomfunktionen befinden. In Betracht ziehen$f(P)|\psi\rangle=E|\psi\rangle$Wo$|\psi\rangle\neq0$. Daher:

$$\langle q|f(P)|\psi\rangle=f(q)\langle q|\psi\rangle=E\langle q|\psi\rangle$$ Seit $|\psi\rangle\neq0$, es gibt mindestens eine $q$so dass $\langle q|\psi\rangle\neq0$und so $E=f(q)$(Hier haben wir die Tatsache verwendet, dass $f$liegt in der Schließung von Polynomfunktionen). Wenn $f(p)\neq f(q)$Dann $\langle p|\psi\rangle=0$( $E$ist eine konstante Zahl). Umgekehrt, wenn $f(p)=f(q)=E$, Dann $f(P)|p\rangle=E|p\rangle$und weil $\int d^Dp |p\rangle\langle p|=I$So:

$$|\psi_{q}\rangle=\int_{f(p)=f(q)} dp \alpha(p) |p\rangle$$

welche$q$variiert über$\mathbb{R}^D$Und$\alpha$ist eine Funktion. Daher, wenn$f$injektiv ist, dann ein Eigenvektor von$f(P)$Ist$|q\rangle$dass ihr Eigenwert gleich ist$E=f(q)$. Deshalb sind die Eigenvektoren des Zeitentwicklungsoperators genau die des Hamiltonoperators.

In Ihrem Fall,$f(p)=p^2$und es ist nicht injektiv, also die Eigenvektoren von$P^2$liegt in dieser Form vor:

$$|\psi_{q}\rangle=\int_{p^2=q^2} dp \alpha(p) |p\rangle$$

welche$q$variiert über$\mathbb{R}^D$Und$\alpha$ist eine Funktion.