Durchschnittlicher Impuls in der Quantenmechanik über ein endliches Raumintervall

1. Technisch gesehen ist OPs Gl. (1) ist der Erwartungswert

   $$\langle \hat{A} \rangle ~:=~ \int_{\mathbb{R}} \!\mathrm{d}x~\psi^{\ast} \hat{A}\psi \tag{i}$$ eines nicht-hermiteschen Operators $$\hat{A}~:=~ 1_{[a,b]}(\hat{x})\hat{p}.\tag{ii}$$ Hier$x\mapsto 1_{[a,b]}(x)$bezeichnet die charakteristische / Indikatorfunktion für das Intervall$[a,b]\subseteq \mathbb{R}$. Wir nehmen an$a<b$.

2. $\hat{A}$ist nicht-hermitesch, da$\hat{x}$Und$\hat{p}$pendeln nicht

   $$[\hat{x},\hat{p}]~=~i\hbar~{\bf 1}.\tag{iii}$$

3. Um einen hermiteschen Operator/ Observable zu erhalten , betrachten Sie formal zB stattdessen den symmetrisierten Operator

   $$\hat{B}~:=~\frac{1}{2}\left\{1_{[a,b]}(\hat{x}),~\hat{p}\right\}_+ ~:=~\frac{1}{2}\left(1_{[a,b]}(\hat{x}) \hat{p}+\hat{p}1_{[a,b]}(\hat{x})\right) ~=~\hat{A} +\frac{i\hbar}{2}\left(\delta(\hat{x}\!-\!b)-\delta(\hat{x}\!-\!a)\right).\tag{iv}$$

4. Wenn es einige Randbedingungen gibt, wie z

   $$\psi(a)~=~0~=~\psi(b), \tag{v}$$ (z. B. wegen eines unendlichen Potentials bei$x=a$Und$x=b$), dann die Operatoren$\hat{A}$Und$\hat{B}$sind effektiv gleich. \psi

5. Fun Fact: Wenn die Welle funktioniert$\psi\in\mathbb{R}$ist differenzierbar, reell und verschwindet$\psi(\pm\infty)=0$bei unendlich, dann verschwindet der Erwartungswert $$\langle \hat{B} \rangle~\stackrel{(\text{iv})}{=}~ \frac{1}{2}\int_a^b \!\mathrm{d}x\left(\psi^{\ast} (\hat{p}\psi) + (\hat{p}\psi)^{\ast}\psi\right)~\stackrel{(\text{vii})}{=}~\int_a^b \!\mathrm{d}x ~mj~=~0, \tag{vi}$$ Wo $$j~:=~\frac{1}{2m}\left(\psi^{\ast} \hat{p}\psi-\psi \hat{p}\psi^{\ast}\right)~=~0\tag{vii}$$ ist der Wahrscheinlichkeitsstrom .

Eine Wellenfunktion gibt Ihnen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen irgendwo gesehen wird. Wenn es nicht auf eine bestimmte Region beschränkt ist, wie ein potenzieller Brunnen oder so etwas, dann ist es wahrscheinlich, dass es überall im Raum gesehen wird. Deshalb läuft die Integration ab$-\infty$Zu$+\infty$(Denken Sie daran, dass Sie niemals ein quantenmechanisches Teilchen im Weltraum lokalisieren könnten). Das kann in ein endliches Raumvolumen umgewandelt werden, wenn die Begrenzung stark ist. Beispielsweise ist bei einem Teilchen in einem unendlichen Potentialtopf die Randbedingung, dass die Wellenfunktion an den Potentialtopfgrenzen verschwinden soll.

Aber in Wirklichkeit gibt es keine so unendlichen potenziellen Fallen, in denen Sie ein Teilchen einsperren können. Alle verfügbaren Potentiale sind endlich. Die Bedingung, dass die Wellenfunktion an der Grenze verschwinden sollte, ist also nicht mehr gültig, was bedeutet, dass sich die Wellenfunktion über die Grenze hinaus ausbreiten könnte (sogenanntes Quantentunneln). Solche Wellenfunktionen heißen unnormiert. Deshalb integriert man über den gesamten Raum, um die Wahrscheinlichkeit und damit den Erwartungswert des Teilchens zu erhalten.