Was hat es mit dem Impuls im unendlichen Quadrat gut auf sich?

• Ist der Impulsoperator$P=-i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ symmetrisch , wenn auf das kompakte Intervall des Brunnens beschränkt? Gibt es Feinheiten in seiner Definition, über seine Domäne oder ähnliches, die für die Realline-Version nicht vorhanden sind?

(Ich gehe von nun an davon aus, dass der Hilbert-Raum ist$L^2([0,1],dx)$.)

Es hängt von der genauen Definition der Domäne von ab$P$. Eine natürliche Wahl ist

$$D(P) = \{\psi \in C^2([0,1])\:|\: \psi(0)=\psi(1)=0\}\:.\tag{1}$$ Mit dieser Definition$P$ist symmetrisch : (a) das Gebiet ist dicht in$L^2([0,1], dx)$und (b) der Operator hermitesch ist $$\langle P\psi| \phi \rangle = \langle \psi| P\phi \rangle\quad \mbox{for $\psi, \phi \in D(P)\:.$}\tag{2}$$ Sie können verschiedene Definitionen der Domäne als mehr oder weniger gleichwertig betrachten. Der Punkt ist, dass die selbstadjungierte Erweiterung mit der Schließung von zusammenhängt$P$und nicht zu$P$selbst, und Sie haben möglicherweise mehrere Möglichkeiten, um die gleiche Abschlusserklärung von verschiedenen Domänen zu erhalten. Die Situation ist ähnlich wie auf der realen Leitung. Dort$P$kann als Differentialoperator auf definiert werden$C_0^\infty(\mathbb R)$oder$\cal S(\mathbb R)$(Schwartz' Raum) oder$C^1_0(\mathbb R)$und auch die Ableitung im schwachen Sinn interpretieren. In allen Fällen die Schließung von$P$ist dasselbe.

• Ist der Impulsoperator$P=-i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ unter diesen Bedingungen selbstadjungiert ? Wenn nein, warum nicht, und was sind die Konsequenzen in Bezug auf die Dinge, die uns normalerweise wichtig sind, wenn wir eindimensionales QM machen?

Es ist nicht selbstadjungiert mit der besagten Wahl seines Bereichs (oder mit jeder trivialen Modifikation dieses Bereichs). Die Konsequenz ist, dass es in seiner jetzigen Form keine spektrale Zerlegung zulässt und daher keine Observable ist, da kein PVM damit verbunden ist.

Definieren$P= -i \hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$auf der realen Leitung mit einer der oben genannten Domains tritt das gleiche Problem auf.

Die allgemeine Tatsache ist, dass Differentialoperatoren niemals selbstadjungiert sind , weil die Adjungierte eines Differentialoperators kein Differentialoperator ist, da sie nicht zwischen glatten und nicht glatten Funktionen unterscheiden kann, weil Elemente von$L^2$sind Funktionen bis zu Nullmaßmengen. Höchstens ein symmetrischer Differentialoperator kann im Wesentlichen selbstadjungiert sein , dh er lässt eine eindeutige selbstadjungierte Erweiterung zu (die mit dem Abschluss des Anfangsoperators zusammenfällt). Dieser einzigartige selbstadjungierte Operator ist die wahre Observable der Theorie.

• Wenn es nicht selbstadjungiert ist, lässt es dann eine selbstadjungierte Erweiterung zu ?

Ja. Der kanonische Weg prüft, ob Fehlerindizes von$P$mit Domäne (1) sind gleich und sie sind. Aber der kürzeste Weg besteht in der Berufung auf ein Theorem von von Neumann:

Wenn ein (dicht definierter) symmetrischer Operator mit einem antilinearen Operator kommutiert$C$definiert auf dem gesamten Hilbert-Raum und so dass$CC=I$, dann lässt der Operator selbstadjungierte Erweiterungen zu.

In diesem Fall$(C\psi)(x):= \overline{\psi(1-x)}$erfüllt die Hypothese.

Wenn ja, ist diese Erweiterung eindeutig?

NEIN ist es nicht, der Operator ist im Wesentlichen nicht selbstadjungiert.

Wenn die Erweiterung nicht eindeutig ist, welche verschiedenen Möglichkeiten gibt es und worin unterscheiden sie sich? Tragen diese Unterschiede physische Bedeutung / Assoziationen / Konsequenzen? Und was ist überhaupt eine selbstadjungierte Erweiterung und wo kann ich sie nachlesen?

Es gibt eine Klasse von selbstadjungierten Erweiterungen, die durch Elemente parametrisiert werden$\chi$von$U(1)$. Diese Erweiterungen werden auf der entsprechenden Erweiterung der Domäne definiert

$$D_\chi(P) := \{\psi \in L^2([0,1],dx)\:|\:\psi' \mbox{in weak sense exists in $L^2([0,1],dx)$ and $\psi(1) = \chi\psi(0)$} \}\:.$$ (Es ist möglich, das mit der besagten Definition von zu beweisen$D_\chi$Die Definition ist konsistent:$\psi$ist stetig, so dass$\psi(0)$und$\psi(1)$macht Sinn.) Als nächstes die selbstadjungierte Erweiterung von$P$Über$D_\chi(P)$ist wieder$-i\hbar \frac{d}{dx}$wobei die Ableitung im schwachen Sinn interpretiert wird. Der einfachste Fall ist$\chi=1$und Sie haben den Standard-Impulsoperator mit periodischen Randbedingungen , der selbstadjungiert ist. Die anderen selbstadjungierten Erweiterungen sind triviale Änderungen dieser Definition. Ich kenne die physikalische Bedeutung dieser verschiedenen Wahlmöglichkeiten (falls vorhanden) nicht: Die Theorie ist zu diesem Zeitpunkt zu elementar, um sich eine physikalische Interpretation vorzustellen. Vielleicht ergibt sich mit einem verbesserten Modell eine physikalische Interpretation.

• Was sind das Spektrum und die Eigenvektoren des Impulsoperators und seiner Erweiterungen? Wie unterscheiden sie sich voneinander? Gibt es in diesem Setting so etwas wie eine Impulsdarstellung? Wenn nein, warum nicht?

Sie können das Spektrum, das ein reines Punktspektrum ist, leicht berechnen, und die Eigenvektoren sind exponentiell verschoben. Wenn$\chi = e^{i \alpha}$wo$\alpha \in \mathbb R$, und wir bezeichnen mit$P_\alpha$die zugehörige selbstadjungierte Erweiterung von$P$eine Menge von Eigenvektoren ist

$$\psi^{(\alpha)}_n(x) = e^{i(\alpha + 2\pi n)x}$$ mit Eigenwerten $$p^{(\alpha)}_n := \hbar(\alpha + 2\pi n)\quad n \in \mathbb Z\::$$ Der Satz der$\psi^{(\alpha)}_n$ist eine Hilbert-Basis, weil sie über den Einheitsoperator mit der Standardbasis der Exponentialfunktionen verbunden ist$(U_\alpha \psi)(x) = e^{i\alpha x} \psi(x)$. Im Wesentlichen beweisen das Nelsons Theorem und das Spectral Decomposition Theorem$P_\alpha$hat ein reines Punktspektrum aus den Realen$p_n^{(\alpha)}$. Es existiert also eine Impulsdarstellung , wie Sie sofort beweisen können.

• Welche Beziehung besteht zwischen dem Impulsoperator (und seinen möglichen Erweiterungen) und dem Hamiltonoperator?

Wie Sie wissen, wenn Sie mit der Form beginnen$H := -\hbar \frac{d^2}{dx^2}$an$D(H):= \{\psi \in C^2([0,1]) \:|\: \psi(0)=\psi(1) =0\}$(Ich nehme an$2m=1$) ist dies im Wesentlichen selbstadjungiert, der entsprechende Impulsoperator mit Domäne (1) jedoch nicht. (Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Satz von Nelson, da$H$ist symmetrisch und erlaubt eine Hilbert-Basis von Eigenfunktionen.)

Es gibt jedoch auch verschiedene Kandidaten für den Hamilton-Operator, die sich ergeben, indem man die zweite Potenz jeder selbstadjungierten Erweiterung von nimmt$P$mit Domäne (1). Das Spektrum besteht aus den zweiten Potenzen der Elemente des Spektrums der entsprechenden seof-adjungierten Erweiterung$\hbar^2(\alpha + 2\pi n)^2$

Pendeln sie? Teilen sie eine Basis?

Momentum und zugehöriger Hamiltonscher Pendelverkehr und eine gemeinsame Basis ist die oben für das Momentum geschriebene.

Unterschiedliche selbstadjungierte Erweiterungen und unterschiedliche Hamiltonoperatoren pendeln nicht, wie Sie leicht durch direkte Betrachtung beweisen können.

• Haben diese Probleme Entsprechungen oder Erklärungen in der klassischen Mechanik? ( stups, stups )

ich weiß nicht

Und, noch wichtiger: Was sind gute, vollständige und lesbare Referenzen, wo man hingehen kann, um mehr Informationen darüber zu bekommen?

Ich weiß es nicht, viele Ergebnisse sind in der Literatur verbreitet. Es ist schwierig, sie alle zu sammeln. Eine gute Referenz ist das Lehrbuch von Reed und Simon: Band I und II.

NACHTRAG . Ein technischer Punkt verdient eine kleine Diskussion. Manchmal beim Einführen von Selbstadjungiertheitsdomänen wie oben im Raum$L^2(I)$, wo$I\subset \mathbb{R}$ist ein beschränktes Intervall, die Funktionen$\psi$müssen absolut kontinuierlich sein . Diese Anforderung ist tatsächlich in der Bedingung enthalten, dass die schwache Ableitung $\psi'$existiert und ist darin enthalten$L^1$(oder$L^2$seit$I$ist begrenzt). Tatsächlich eine messbare Funktion$\psi:I \to \mathbb{C}$ist genau dann absolut stetig, wenn es eine schwache Ableitung in zulässt$L^1(I)$. Da die Funktion in diesem Fall absolut stetig ist, existiert ihre Ableitung fast überall und fällt mit zusammen$\psi'$.

Die Aussage$p = -i \hbar d/dx$ist der Ausdruck für einen Operator$p$wenn es in einer bestimmten Basis (der Positionsbasis) geschrieben wird. Dieser Operator repräsentiert die physikalische Größe, die wir Impuls nennen. Diese beiden Aussagen stehen in keinem Zusammenhang mit dem Hamilton-Operator und bleiben wahr, egal welchen Hamilton-Operator Sie haben.

Wenn Sie jedoch beabsichtigen, streng unphysikalische Fälle wie eine unendliche potentielle Energie zu betrachten, müssen Sie manchmal vorsichtig vorgehen.

Wenn Sie mit dem unendlichen quadratischen Brunnen im Zweifel sind, kehren Sie zu etwas Physikalischerem zurück, wie einem endlichen quadratischen Brunnen oder einem endlichen Brunnen mit einem flachen Boden und einem glatten Gradienten an den Rändern. Dann ist alles (zumindest konzeptionell) einfach, und Sie können untersuchen, was an der Grenze passiert, wo die Brunnentiefe gegen unendlich geht.