Ist kinetische Energie in QM eine Zustandseigenschaft oder ist sie verteilt?

Angenommen, wir haben ein quantenmechanisches System, das durch seine Wellenfunktion in r-Darstellung gut beschrieben ist Ψ . Uns interessieren die Eigenschaften einer Observablen, etwa der kinetischen Energie T . Also lassen wir den kinetischen Energieoperator auf die Wellenfunktion wirken, multiplizieren das Ergebnis mit Psi und integrieren über räumliche Koordinaten. Damit erhalten wir den Erwartungswert ⟨ T ⟩ . Wir bemerken, dass dieses Ergebnis eine Eigenschaft des Operators und auch des Quantenzustands ist.

Nun findet man in QM-Lehrbüchern oft ausführliche Diskussionen des Ergebnisses, um physikalische Bedeutung und Kontext zu liefern. Beispielsweise wird bei der Diskussion der kinetischen Energie des Grundzustands eines Wasserstoffatoms darauf hingewiesen, dass die kinetische Energie T ist - durch die Schrödinger-Gleichung - eng mit dem elektrostatischen Potential verbunden v und die Gesamtenergie E . Beide v Und E sind Operatoren, die multiplikativ sind R -Darstellung. So T (der im Kern durch den Laplace-Differentialoperator dargestellt wird), wenn geschrieben als E - v , kann als multiplikativ angesehen werden. Somit erhalten wir (mit Energie in Rydberg-Energieeinheiten und Entfernung in Bohr-Radiuseinheiten):

T = − 1 + 2 R

Dieses Ergebnis wird dann im Sinne des „klassischen Wendepunktes“ diskutiert. R = 2 . Die Region R > 2 ist in der klassischen Physik verboten, da die kinetische Energie hier negativ ist. Doch in QM gibt es eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null, dass das Elektron gefunden wird R > 2 .

Ich frage mich, für wie viel "Wahrheit" die obige Formel gilt T . Es ist naheliegend, sie als eine eigentliche Funktion des Abstands zum Kern anzusehen R . Sobald man jedoch etwas tiefer gräbt, kommt es zu Konflikten. Beispielsweise kann man die Fourier-Transformation der Wellenfunktion berechnen. Da nun die anfängliche Wellenfunktion kugelsymmetrisch war, ist dies auch die FT. Daher hinein Φ ( k ) es gibt nur Zustände mit positivem Wellenfaktor k . Da ist einfach kein Platz für negative kinetische Energien! So entsteht sofort ein Paradoxon, wenn wir kinetische Energie als Verteilung in betrachten R - oder k -Darstellung.

Außerdem kann man sich die höheren Momente des kinetischen Energieoperators ansehen. Das führt zu neuen Problemen. Zum Beispiel der zweite Moment ⟨ T T ⟩ kann als beides berechnet werden ( Ψ , T T Ψ ) , oder als ( T Ψ , T Ψ ) [bereitgestellt T ist selbstadjungiert, wenn er auf diese Wellenfunktionen einwirkt]. Natürlich ist es befriedigend, dass diese beiden Integraldarstellungen zum gleichen Nettoergebnis führen. Ihre Integranden sind jedoch offensichtlich verschieden! Wenn die kinetische Energie innerhalb des Zustands verteilt ist, kann sie daher nicht ohne ein gewisses Maß an Mehrdeutigkeit genau bestimmt werden.

Ich würde gerne Ihre Kommentare zu diesem Thema hören!

Antworten (1)

Ich denke, das einzige, was darauf basiert ψ was zufriedenstellend als im Raum verteilt bezeichnet werden kann, ist die Konfigurationswahrscheinlichkeit. Seine Dichte im Konfigurationsraum ist

| ψ ( R 1 , R 2 , . . . , T ) | 2 .

Ausdruck | ψ | 2 T ^ ψ ψ mag wie die Dichte der kinetischen Energie aussehen, aber dies widerspricht der Grundidee, dass kinetische Energie immer positiv ist (da sie durch das Quadrat des realen Impulses gegeben ist). Dieses Problem kann durch Postulieren gelöst werden | P ^ ψ | 2 2 M als Dichte der kinetischen Energie (ergibt den gleichen Durchschnitt), aber es gibt keine experimentelle Bestätigung für eine solche Beziehung, daher ist sie eher spekulativ (trotzdem könnte man versuchen, sie zu verwenden, um einige Ergebnisse der Quantentheorie zu interpretieren).

Vielen Dank. Ich mag Ihr Postulat für die Dichte der kinetischen Energie. Ich habe festgestellt, dass bei der Berechnung der noch höheren Momente der kinetischen Energie (nach Regularisierung der Wellenfunktion) die symmetrische Darstellung am sinnvollsten ist. Ihre Formel erlaubt es, die ungeraden Momente auch symmetrisch auszudrücken. Hübsch! Die resultierende Dichte ist größer oder gleich Null. Damit verschwindet die klassische Sperrzone. Ich mag es! Ich denke, die verbotene Zone hat sowieso nie viel Sinn gemacht....
@MWind, gerne geschehen. Könnten Sie einige Ihrer Gedanken zu den höheren Momenten posten? Es klingt interessant ... Die verbotene Zone negativer kinetischer Energie ist tatsächlich nicht vorhanden. Dies führt zu einem weiteren interessanten Merkmal: Die einem bestimmten Punkt des Konfigurationsraums zugeordnete Gesamtenergie ist nicht überall gleich dem Hamiltonschen Eigenwert. In Kernnähe ist die Energie negativ, weit davon entfernt positiv. Als Energiefunktion ist über die ganze conf integriert. Platz mit prob. Dichte basierend auf der Eigenfunktion ergibt sich der Eigenwert.
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