Bedeutung des Erwartungswerts des Produkts von nicht pendelnden Betreibern

Question

Bedeutung des Erwartungswerts des Produkts von nicht pendelnden Betreibern

Physik
Betreiber
Kommutator
Quantenmechanik
Messproblem

syhpphys

Lassen $\hat{A}$ Und $\hat{B}$ seien hermitesche Observablen mit Spektren, die mit gekennzeichnet sind $a$ Und $b$ . Dann können wir schreiben

\hat{A} = \sum_{A} A {\hat{P}}_{A}

$\begin{equation} \hat{A} = \sum_a a\, \hat{P}_a \end{equation}$

\hat{B} = \sum_{B} B {\hat{P}}_{B}

$\begin{equation} \hat{B} = \sum_b b\, \hat{P}_b \end{equation}$

Wo $\hat{P}_a$ Und $\hat{P}_b$ sind die Eigenraumprojektionsoperatoren für $\hat{A}$ Und $\hat{B}$ .

Lassen $|\psi \rangle$ ein Zustand sein und den Erwartungswert berücksichtigen

\begin{aligned} ⟨ ψ | \hat{A} \hat{B} | ψ ⟩ = \sum_{A, B} A B ⟨ ψ | {\hat{P}}_{A} {\hat{P}}_{B} | ψ ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} \langle\psi|\hat{A} \hat{B}|\psi \rangle = \sum_{a,b} ab\,\langle \psi|\hat{P}_a \hat{P}_b |\psi\rangle. \end{align}$

Wenn $[\hat{A},\hat{B}] = 0$ , dann ist klar, wie man interpretiert $\langle\psi|\hat{A} \hat{B}|\psi \rangle$ : wenn wir eine gleichzeitige Messung von durchführen $\hat{A}$ Und $\hat{B}$ , projizieren wir den Zustand auf einen simultanen Eigenraum und messen die entsprechenden Eigenwerte $a,b$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand auf die projiziert wird $a,b$ Eigenraum ist einfach $\langle \psi|\hat{P}_a \hat{P}_b |\psi\rangle$ . Dann sehen wir das aus der obigen Gleichung $\langle\psi|\hat{A} \hat{B}|\psi \rangle$ stellt den Mittelwert des Produkts der Messungen dar, die über eine große Anzahl von wiederholten Experimenten genommen wurden.

Meine Frage betrifft die Bedeutung von $\langle\psi|\hat{A} \hat{B}|\psi \rangle$ Wenn $\hat{A}$ Und $\hat{B}$ pendeln nicht. Mein erster Gedanke ist, dass es den Durchschnittswert des Produkts der Messungen darstellt, wenn $\hat{B}$ wird zuerst gemessen, gefolgt von einer Messung von $\hat{A}$ . Aber diese Größe sollte, wie mir scheint, stattdessen wie folgt berechnet werden:

Führen Sie zunächst eine Messung durch $\hat{B}$ . Diese projiziert den Zustand auf einen Eigenraum mit Eigenwert $b$ mit Wahrscheinlichkeit $\langle \psi|\hat{P}_b |\psi \rangle$ . Nach dieser Messung ist unser neuer Zustand jetzt
$| ψ^{'} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{⟨ ψ | \hat{P_{B}} | ψ ⟩}} {\hat{P}}_{B} | ψ ⟩$ $\begin{equation} |\psi'\rangle = \frac{1}{\sqrt{\langle\psi |\hat{P_b} |\psi \rangle}}\hat{P}_b|\psi\rangle \end{equation}$
Wir führen nun eine Messung von durch $\hat{A}$ An $|\psi'\rangle$ . Diese projiziert auf einen Eigenraum mit Eigenwert $a$ mit Wahrscheinlichkeit $\langle \psi'|\hat{P}_a|\psi'\rangle$
Daher die Wahrscheinlichkeit, zuerst einen Eigenwert zu erhalten $b$ gefolgt von einem Eigenwert $a$ Ist

⟨ ψ^{'} | {\hat{P}}_{A} | ψ^{'} ⟩ ⟨ ψ | {\hat{P}}_{B} | ψ ⟩ = ⟨ ψ | {\hat{P}}_{B} {\hat{P}}_{A} {\hat{P}}_{B} | ψ ⟩

$\begin{equation} \langle \psi'|\hat{P}_a|\psi'\rangle\,\langle \psi|\hat{P}_b|\psi\rangle = \langle \psi|\hat{P}_b \hat{P}_a \hat{P}_b|\psi\rangle \end{equation}$

Und so würde ich erwarten, dass der Durchschnittswert das Produkt der Messungen ist $\sum_{A, B} A B ⟨ ψ | {\hat{P}}_{B} {\hat{P}}_{A} {\hat{P}}_{B} | ψ ⟩ .$ $\begin{equation} \sum_{a,b} ab\,\langle \psi|\hat{P}_b \hat{P}_a \hat{P}_b|\psi\rangle. \end{equation}$

Wenn diese Argumentation richtig ist, wie soll ich sie interpretieren? $\langle \psi | \hat{A} \hat{B} |\psi \rangle$ (da es eindeutig nicht gleich dem Ergebnis in Aufzählungspunkt 4 ist, wenn die Projektoren nicht pendeln)? Wenn die Begründung falsch ist, was ist daran falsch?

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CR Drost · Answer 1

Richtig, im Allgemeinen werden Sie dort keine einfache Äquivalenz sehen. Wir können die Dirac-Notation mit verwenden $\hat P_b = |b\rangle\langle b|$ das zu sehen $\langle \hat A \hat B \rangle = \sum_{a,b} a~b~\langle \psi | a \rangle~\langle a | b \rangle~\langle b | \psi \rangle$ und sogar das Einfügen einer Identitätsmatrix für $b$ (nennen $b'$ ) ergibt:

\begin{aligned} ⟨ \hat{A} \hat{B} ⟩ = & \sum_{A, B, B^{'}} A B ⟨ ψ | B^{'} ⟩ ⟨ B^{'} | A ⟩ ⟨ A | B ⟩ ⟨ B | ψ ⟩ \\ = & \sum_{B, B^{'}} B ψ^{*} (B^{'}) ψ (B) ⟨ B^{'} | \hat{A} | B ⟩ \end{aligned}

$\begin{align}\langle \hat A \hat B \rangle =& \sum_{a,b,b'} a~b~\langle \psi | b'\rangle~\langle b'|a \rangle~\langle a | b \rangle~\langle b | \psi \rangle\\=&\sum_{b,b'} b~\psi^*(b')~\psi(b) ~ \langle b'|\hat A| b\rangle\end{align}$ In der Tat müssen Sie eine Art einfügen

δ_{b b^{'}}

$\delta_{bb'}$ in diese letzte Summe, um die zu bekommen

b ⟨ b | \hat{A} | b ⟩

$b ~ \langle b|\hat A | b\rangle$ Sinn für „Maß

B

$B$ Zuerst, dann

A

$A$ ,", die dieser Ausdruck nicht hat, es sei denn, er ist darin versteckt

\hat{A}

$\hat A$ Begriff.

Es gibt einen sehr einfachen Grund, warum Sie diese einfache Äquivalenz nicht sehen. Lassen Sie uns in einem endlichdimensionalen Hilbert-Raum arbeiten $\psi \in \mathbb C^N.$ Dann die Matrix $\hat C = \hat A \hat B$ ist eigentlich durch die Einsteinsumme gegeben

C_{ich k} = A_{ich J} B_{J k} .

$C_{ik} = A_{ij} ~B_{jk}.$ Dies ist hermitesch genau dann, wenn

C_{i k}^{*} = C_{k i}

$C_{ik}^* = C_{ki}$ aber das komplexe Konjugierte hier ist

C_{ich k}^{*} = A_{ich J}^{*} B_{J k}^{*} = B_{k J} A_{J ich}

$C_{ik}^* = A_{ij}^* ~B_{jk}^* = B_{kj}~A_{ji}$ und fordert, dass dies gleich ist

C_{k i}

$C_{ki}$ fordert dies daher

B_{k j} A_{j i} = A_{k j} B_{j i}

$B_{kj} A_{ji} = A_{kj} B_{ji}$ oder deswegen

[\hat{A}, \hat{B}] = 0.

$[\hat A, \hat B] = 0.$

Mit anderen Worten, das Produkt zweier hermitescher Matrizen ist nur dann hermitesch, wenn sie pendeln. Überhaupt die Erwartung $\langle \hat A \hat B \rangle$ wird eine komplexe Zahl sein, wenn sie nicht pendeln.

Wenn Sie etwas Hermitisches wollen (sagen wir, Sie haben einen klassischen Ausdruck mit $\langle x~ p\rangle$ die Sie in den Quantenfall verallgemeinern möchten), dann werden Sie wahrscheinlich ein symmetrisches Produkt erstellen $\frac 12 (\hat A \hat B + \hat B \hat A)$ , die dann wieder hermitesch ist, wenn ihre konstituierenden Matrizen es sind.

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syhpphys

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CR Drost

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