Unsicherheitsprinzip und Messung

Es gibt viele Schritte:

Schritt 1, wählen Sie ein Bundesland aus$\Psi$.

Schritt 2, bereiten Sie viele Systeme im gleichen Zustand vor$\Psi$

Schritt 3, wählen Sie zwei Operatoren A und B aus

Schritt 4a, für einige der im Zustand vorbereiteten Systeme$\Psi$, Maß A

Schritt 4b für einige der im Zustand vorbereiteten Systeme$\Psi$, Maß B

Wenn Sie nun die Ergebnisse analysieren und starke (nicht schwache) Messungen annehmen, erhalten Sie jedes Mal, wenn Sie A messen, einen Eigenwert von A, und jedes Mal, wenn Sie B messen, erhalten Sie einen Eigenwert von B. Jeder Eigenwert hatte eine Wahrscheinlichkeit (die gleich ist zum Verhältnis der quadrierten Norm der Projektion auf den Eigenraum dividiert durch die quadrierte Norm vor der Projektion auf den Eigenraum). Ihre Eigenwerte von A stammen also aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die oft einen Mittelwert hat$\langle A\rangle=\langle \Psi|A|\Psi\rangle$und eine Standardabweichung$\Delta A=\sqrt{\langle \Psi|\left(A^2-\langle \Psi|A|\Psi\rangle^2\right)|\Psi\rangle}$. Und Ihre Eigenwerte von B stammen aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, die oft einen Mittelwert hat$\langle B\rangle=\langle \Psi|B|\Psi\rangle$und eine Standardabweichung$\Delta B=\sqrt{\langle \Psi|\left(B^2-\langle \Psi|B|\Psi\rangle^2\right)|\Psi\rangle}$. Sie erhalten diese nie aus einer Messung oder sogar aus einem ganzen Bündel, aber aus den Schritten 4a und 4b erhalten Sie einen Stichprobenmittelwert und eine Stichprobenstandardabweichung, und bei einer großen Stichprobe liegen diese wahrscheinlich sehr nahe am theoretischen Mittelwert und die theoretische Standardabweichung.

Das sagt die Unschärferelation bereits in Schritt 1 (als Sie ausgewählt haben$\Psi$) können Sie a auswählen$\Psi$das gibt ein kleines$\Delta A$, oder ein$\Psi$das gibt ein kleines$\Delta B$(eigentlich wenn$\Psi$ist dann ein Eigenzustand von A$\Delta A=0$, das gleiche für$B$). Jedoch,

So haben insbesondere nichtkommutierende Operatoren oft (dh wenn der Erwartungswert ihres Kommutators nicht verschwindet) einen Kompromiss, wenn der betreffende Zustand eine wirklich niedrige Standardabweichung für einen Operator hat, dann muss der betreffende Zustand eine höhere Standardabweichung für den haben andere.

Wenn die Operatoren pendeln, gibt es nicht nur keine gemeinsame Grenze dafür, wie niedrig die Standardabweichungen werden können, sondern das Messen der anderen Variablen hält Sie im gleichen Eigenraum des anderen Operators. Das ist jedoch eine ganz andere Tatsache, da es bei der Unschärferelation um die Standardabweichungen zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen für zwei Observablen geht, die auf ein und denselben Zustand angewendet werden, und damit näherungsweise auf die Stichproben-Standardabweichungen, die aus identisch präparierten Zuständen erzeugt werden.

Wenn Sie ein System im Zustand vorbereitet haben$\Psi$und Sie messen A darauf, dann müssen Sie in der Regel ein anderes System verwenden, das ebenfalls vorbereitet ist$\Psi$um B zu messen. Das liegt daran, dass, wenn Sie A an einem System messen, der Zustand auf einen Eigenraum von A projiziert wird, was im Allgemeinen den Zustand ändert. Und da die Wahrscheinlichkeitsverteilung für B auf dem Zustand basiert, haben Sie jetzt, da Sie einen anderen Zustand haben, eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung für B. Sie können es nicht herausfinden$\Delta B=\sqrt{\langle \Psi|\left(B^2-\langle \Psi|B|\Psi\rangle^2\right)|\Psi\rangle}$wenn du nicht hast$\Psi$und nur haben$\Psi$projiziert auf einen Eigenraum von A.

Eines der Hauptprobleme bei der Unbestimmtheitsrelation, wie sie in der Quantenmechanik normalerweise erzählt wird, ist, dass sie immer im historischen Kontext erzählt wird, was bedeutet, was Heisenberg oder Feynman darüber dachten. Dies ist ausnahmsweise (zumindest) nicht sehr clever.

In der heutigen Literatur unterscheiden wir verschiedene Arten von „Unschärferelationen“, je nachdem, worauf sie sich eigentlich beziehen. Der erste Satz von Unsicherheitsrelationen betrifft die Zustandsvorbereitung . Erinnern Sie sich daran, dass Sie einen Zustand als abstrakte Version eines experimentellen Vorbereitungsverfahrens sehen können. Es ist kein bestimmtes Photon, sondern beschreibt tatsächlich, wie man Photonen mit bestimmten Eigenschaften erzeugt. In objektiven Programmiersprachen wäre ein "Zustand" dasselbe wie eine Klasse, nicht eine Instanz einer Klasse. Wem diese besondere Sicht auf einen Zustand nicht gefällt [das ist Teil dessen, was man die Ludwig-Schule nennen könnte ], der kann auch sagen, dass ein Zustand der wohldefinierte Zustand für ein Ensemble ist. All dies sollte gleichwertig sein.

Jedenfalls beschreibt der Zustand die Eigenschaften dieses Ensemble-/Präparationsverfahrens und eine Unschärferelation für die Zustandspräparation sagt etwas darüber aus. Die üblichen Robertson-Schrödinger-Unschärferelationen, von denen die Heisenberg-Relation nur ein Spezialfall ist, sind solche Zustandsvorbereitungsunschärferelationen. Die Relationen werden als Erwartungswerte und Varianzen ausgedrückt, umfassen aber keine wirkliche Messung. Es geht also um staatliche Vorbereitung.

Was sagt uns also die Heisenberg-Unsicherheit? Wenn ich bei einem gegebenen Zustand Instanzen dieses Zustands erstelle und ihre Dynamik messe, erhalte ich eine Verteilung. Anstatt ihren Impuls zu messen, kann ich auch ihre Position messen und das wird mir eine andere Verteilung geben. Ich könnte zum Beispiel einen Strom von Instanzen dieses Zustands (oder ein Ensemble) erzeugen und die Hälfte davon für Impuls und die Hälfte für Position messen, dann ist die Streuung dieser Verteilung nach unten begrenzt durch$\hbar/2$. Das Schöne an der Heisenbergschen Unschärferelation ist, dass diese Aussage unabhängig davon gilt, wie ich meinen Zustand vorbereite. Es gibt kein experimentelles Präparationsverfahren, bei dem die Streuung des Impulses mal der Streuung des Ortes nicht nach unten begrenzt ist$\hbar/2$.

Bei der anderen Art von Unsicherheitsrelation geht es um Messungen . Sie werden auch „Fehler-Störungs-Beziehungen“ genannt, weil sie versuchen, das oft zitierte „wenn man einen Zustand misst, stört man ihn zwangsläufig“ zu quantifizieren.

Hier müssen Sie Messungen berücksichtigen und definieren, was es bedeutet, dieselbe Instanz eines Zustands zuerst mit einer Observablen und zweitens mit einer anderen zu messen. Hier müsste „gleichzeitige Messung“ definiert werden, was aber für die übliche Heisenbergsche Unschärferelation nicht notwendig ist. Es gibt eine große Literatur über Fehler-Störungs-Beziehungen und viele aktive Diskussionen, um nur zwei zu zitieren, Sie könnten sich Ozawa oder Busch, Lahti, Werner für zwei gegensätzliche Ansichten ansehen.

Sie können nicht beides bekommen$\langle \psi \rvert A \lvert \psi \rangle$ Und $\langle \psi \rvert B \lvert \psi \rangle$wenn Sie nur einen Staat haben$\lvert \psi \rangle$, oder wenn Sie immer messen$A$auf Ihren Staaten.

Was Sie tun müssen, um die Unschärferelation experimentell zu überprüfen, ist ein Ensemble identischer Zustände zu präparieren und dann zu messen$A$auf der einen Hälfte u$B$auf der anderen Hälfte.