Ist die Unsicherheit für Nicht-Eigenzustände notwendigerweise ungleich Null?

Wie Sie sagten, ein Observable$\hat{F}$ist perfekt bestimmt für und nur alle Wellenfunktionen, die Eigenfunktionen des Operators sind$\hat{F}$.

$$\hat{F} \psi = \langle \hat{F} \rangle \psi \text{.}$$

Positionsoperator hat überhaupt keine Eigenfunktionen:

$$\begin{align*} \hat{x} \psi &= \langle \hat{x} \rangle \psi \\ x \psi &= \langle \hat{x} \rangle \psi && \text{if $\psi \neq 0$} \\ x &= \langle \hat{x} \rangle \end{align*}$$

Die einzige Lösung wäre$\psi = 0$die nicht normierbar ist, also keine Wellenfunktion. Tatsächlich ist es nicht die einzig mögliche Lösung. Eine Funktion, die gleich ist$0$für alle$x \neq x_0$ist eine Eigenfunktion. In diesem Szenario können Sie sich 2 Arten von Funktionen vorstellen:

1.

$$\psi = \begin{cases} 0 &\text{if}\qquad x \neq x_0 \\ C &\text{if}\qquad x = x_0 \end{cases}$$

2.

$$\psi = \begin{cases} 0 &\text{if}\qquad x \neq x_0 \\ \infty &\text{if}\qquad x = x_0 \end{cases}$$

Die erste ist keine Wellenfunktion, da sie nicht normalisierbar ist. Und die zweite, die bekannte Diracsche Deltafunktion, ist nicht quadratintegrierbar.

Du könntest sagen: „Was ist mit$\psi = \sqrt{\delta(x-x_o)}$?'' In diesem Fall scheint es tatsächlich quadratisch integrierbar zu sein. Scheinbar kein Problem. Ich habe keine konkrete Antwort darauf, das abzulehnen, aber ich denke nicht$\sqrt{\infty}$bei$x_0$hat überhaupt Sinn. Ich würde sagen, es ist nicht einmal eine Funktion.

Gleiches gilt für den Impuls, der nur für eine ebene Welle perfekt bestimmt ist, die nicht wieder quadratisch integrierbar ist.

Ableitung:

$$\begin{align*} 0 &= \sigma_{F}^2 \\ &= \langle (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)^2\rangle \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} \psi^{*} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)^2 \psi \,d^3\mathbf{r} \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} \psi^{*} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle) (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle) \psi \,d^3\mathbf{r} \\ \end{align*}$$

Als$\hat{F}$ist hermitesch,$(\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)$ist auch hermitesch.

$$\begin{align*} 0 &= \int_{\mathbb{R}^3} \psi^{*} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)^{\dagger} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle) \psi \,d^3\mathbf{r} \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle) \psi (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)^{*} \psi^{*} \,d^3\mathbf{r} \\ \end{align*}$$

Definieren$\phi = (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)\psi$.

$$\begin{align*} 0 &= \int_{\mathbb{R}^3} \phi \phi^{*} \,d^3\mathbf{r} \\ &= \int_{\mathbb{R}^3} |\phi|^2 \,d^3\mathbf{r} \\ \end{align*}$$

Was impliziert (außer von$\phi$eine Funktion gleich sein$0 \,\forall x\neq x_0$, aber ich habe bereits gesagt, was in diesem Fall passiert)

$$\begin{align*} 0 &= |\phi|^2 \\ 0 &= \phi \\ 0 &= (\hat{F} - \langle\hat{F}\rangle)\psi \\ \hat{F} \psi &= \langle \hat{F} \rangle \psi \end{align*}$$

Alle Schritte sind$\iff$.