Quantenoperator-Katastrophe

Angenommen, wir betrachten eine Wechselwirkung zwischen 2 Fermionen

v ∑ k ich , k J , k M , k N C k ich † C k J † C k M C k N δ k

Wo δ k hält Schwung. Aus der Summe können wir direkt ein paar Terme aufschreiben

. . . + C k 1 † C k 2 † C k 3 C k 4 ⏟ ich = 1 , J = 2 , M = 3 , N = 4 + C k 2 † C k 1 † C k 3 C k 4 ⏟ ich = 2 , J = 1 , M = 3 , N = 4 + . . .   .

und verwenden Sie dann die Antikommutatorbeziehungen

[ C ich , C J ] + = [ C ich † , C J † ] + = 0

[ C ich , C J † ] + = C ich C J † + C J † C ich = δ ich J

die ersten beiden Operatoren im zweiten Summanden zu vertauschen ( C k 2 † C k 1 † = − C k 1 † C k 2 † ) so dass

. . . + C k 1 † C k 2 † C k 3 C k 4 − C k 1 † C k 2 † C k 3 C k 4 + . . .

die Summe verschwindet. Für Begriffe, die nicht paarweise verschwinden, wie z C k 1 † C k 1 † C k 3 C k 4 wir können sehen, dass diese Terme aufgrund des Antikommutators einzeln verschwinden.

Wo ist jetzt der Fehler?

Antworten (2)

Der Fehler ist, dass die Interaktionsbedingungen nicht dem entsprechen, was Sie geschrieben haben, was in der Tat der Fall ist 0 = 0 . Das hast du im Allgemeinen vergessen, v abhängig von der k ich 's, wobei sich das Ad-hoc-Vorzeichen ändert, wenn seine Argumente ausgetauscht werden. Wenn v als konstant angenommen wird, summiert man nicht über alles Mögliche k ich 's, aber nur eine Teilmenge (siehe zum Beispiel die BCS-Interaktion).

Normalerweise hängt die Wechselwirkung auch von Spins ab, also ist die Wechselwirkung, selbst wenn sie im Impuls symmetrisch ist, nicht unbedingt Null.

Ich stimme zu, v ist normalerweise eine Funktion von k oder der Unterschied zwischen k S. Für die BCS-Interaktion summieren wir nun nur mehr als die Hälfte der möglichen k Werte? Da die BCS-Interaktion für S -Welle ist ein Beispiel, wo das Wechselwirkungspotential v Ich denke, es kann angenommen werden, dass der Impulsaustausch symmetrisch ist, dh v ( k 1 − k 2 ) = v ( k 2 − k 1 ) . Bedeutet, dass wir jedes Mal, wenn wir ein symmetrisches Wechselwirkungspotential haben, die Summation auf eine Teilmenge beschränken müssen?
Außerdem denke ich, dass die Prozesse physikalisch C k 1 † C k 2 † C k 3 C k 4 Und C k 2 † C k 1 † C k 3 C k 4 identisch sind und dass sogar a k abhängiges Interaktionspotential v wird nicht zwischen diesen beiden unterscheiden.
@DrComando: Sie vergessen, dass die BCS-Wechselwirkung der Fermionen entgegengesetzte Spins hat, also der Austausch von k ich bedeutet nicht, dass die Summe Null ist. Ich habe meine Antwort entsprechend geändert.
Wenn Sie eine weitere Quantenzahl wie Spin hinzufügen und auch über alle Spinkonfigurationen summieren, werden Sie meines Erachtens dasselbe Problem haben. Die Gesamtzahl der Begriffe steigt, aber sie kommen immer noch immer paarweise vor. Eigentlich bin ich bereit, Ihren ersten Punkt einer reduzierten Teilmenge zu akzeptieren. Dies ist (1) auch meine persönliche Idee und (2) kann das Äquivalent zur Doppelzählung für nicht-fermionische Zustände sein. Bei Fermionen ergibt das doppelte Zählen von Zuständen nicht den doppelten Zustand, sondern ergibt 0 Wegen des Antikommutators. Um dies zu vermeiden, können wir nicht einfach durch eine Zahl dividieren, sondern müssen die Summe buchstäblich reduzieren.
Ich denke, Sie müssen einfach selbst an einem Beispiel sehen, dass es kein Problem gibt, wenn Sie die Impuls-/Spin-Abhängigkeit des Wechselwirkungspotentials berücksichtigen. Beispielsweise ist die Coulomb-Wechselwirkung ∑ S , S ' ∫ X , j v ( | X − j | ) ψ S † ( X ) ψ S ' † ( j ) ψ S ' ( j ) ψ S ( X ) , und Sie können überprüfen, ob es im Realraum oder im Impulsraum kein Problem gibt.
Ich stimme zu, dass es viele Beispiele gibt, bei denen es keine Probleme bei der Summierung gibt. Meine Frage bezieht sich daher nur auf das Beispiel, das ich oben gegeben habe. Vielleicht möchten Sie sich Paare von Grassmann-Zahlen oder fermionischen Operatoren ansehen (z F ( k ) = C k C − k ) als antisymmetrische Funktionen, wie Sinus. Immer wenn Sie den Sinus über ein symmetrisches Intervall integrieren, erhalten Sie Null. Es scheint, dass dasselbe für Paare von Schöpfern oder Paaren von Grassmann-Zahlen gilt. Natürlich eine Konstante gegeben v .
Was können wir tun ... wenn Ihr Modell vorhersagt, dass die Fermionen nicht so interagieren, wie sie sollten, dann ist es ein schlechtes Modell, und Sie sollten ein anderes verwenden.
Ja richtig. Tatsächlich muss die mathematische Beschreibung die Physik wiedergeben. Offenbar die Summe über alles k Werte lässt die Summe verschwinden. Was ich in meiner Summierung gefunden habe, sind wahrscheinlich die Folgen der Doppelzählung für Fermionen. Wie üblich muss Doppelzählung vermieden werden, aber anstatt durch die Anzahl der Zählungen zu dividieren, müssen wir buchstäblich an einer reduzierten Teilmenge arbeiten.

Betrachten Sie als Ergänzung zu Adams Antwort die Wirkung für den superfluiden normalen Übergang in flüssigem Helium-4:

F = ∫ D X ( ℏ 2 2 M | ∇ ϕ ( X ) | 2 − μ | ϕ ( X ) | 2 + v 0 2 | ϕ ( X ) | 4 )
Fourier-Transformation des letzteren Wechselwirkungsterms (der übrigens durch die Annahme eines Kontaktpotentials entsteht v ( X , X ' ) = v 0 δ ( X − X ' ) ) ergibt:
v 0 2 v ∑ K , k , k ' ϕ K − k ∗ ϕ k ∗ ϕ K − k ' ϕ k ' ,
was offensichtlich nicht verschwindet.

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