Grassmann-Zahlendarstellung für Fermionen

Wie kann man gleichzeitig fermionische Operatoren (mit Hüten bezeichnet) und ihre entsprechenden Grassmann-Variablen (ohne Hüte bezeichnet) darstellen, so dass alle Antikommutierungsbeziehungen zwischen ihnen und auch Zuständen stattfinden würden?

C ^ C ^ † + C ^ † C ^ = 1 C 2 = 0 C ¯ 2 = 0 C C ¯ + C ¯ C = 0 C C ^ + C ^ C = 0 C C ^ † + C ^ † C = 0 C ¯ C ^ + C ^ C ¯ = 0 C ¯ C ^ † + C ^ † C ¯ = 0 C | 0 ⟩ − | 0 ⟩ C = 0 C | 1 ⟩ + | 1 ⟩ C = 0 C ¯ | 0 ⟩ − | 0 ⟩ C ¯ = 0 C ¯ | 1 ⟩ + | 1 ⟩ C ¯ = 0.
Es scheint unmöglich zu sein, diese Operatoren und Grassmann-Zahlen als Matrizen darzustellen, oder irre ich mich? Die Antikommutierung mit Zuständen erfordert, dass Zahlen antihermitisch sind, aber sie sollten dreieckig sein, um die Nullpotenz zu erfüllen, dies funktioniert nur für Nullmatrix.

In meinem Fall brauche ich dies auch, um für zwei Fermionen mit vier Zuständen zu arbeiten. Ich kann Operatoren wie folgt als Matrizen und Zustände als Vektoren darstellen

| 0 ⟩ = { 1 , 0 , 0 , 0 } | ↓ ⟩ = { 0 , 1 , 0 , 0 } | ↑ ⟩ = { 0 , 0 , 1 , 0 } | ↓↑ ⟩ = { 0 , 0 , 0 , 1 } C σ ^ = ( 0 δ σ ↓ δ σ ↑ 0 0 0 0 − δ σ ↑ 0 0 0 δ σ ↓ 0 0 0 0 ) C σ = ? C σ ¯ = ?
Wie soll ich also diese Grassmann-Zahlen darstellen?

@ACuriousMind Ja, ich habe diese gesehen, diese Matrizen erfüllen nicht alle Beziehungen.

Antworten (2)

I) Ja, wenn OP auf dem Vorhandensein von Grassmann-Variablen besteht, ist es möglich, die fermionischen Operatoren als Matrizen darzustellen, mit der Einschränkung, dass der fermionische Fock-Zustandsraum ein Supervektorraum ist und die Matrizen Supermatrizen sind .

Wenn wir 2 Erstellungsoperatoren haben C ^ σ † , σ ∈ { ↑ , ↓ } , dann gibt es:

  • 2 bosonische Zustände (1 Vakuumzustand | 0 ⟩ und 1 Zwei-Teilchen-Zustand | ↑↓ ⟩ ), Und

  • 2 fermionische Einteilchenzustände, | ↑ ⟩ Und | ↓ ⟩ .

Siehe auch zB meine Phys.SE-Antwort hier . Lassen Sie uns die 4 Staaten darstellen

(1) | 0 ⟩ = ( 1 0 0 0 ) , | ↑↓ ⟩ = ( 0 1 0 0 ) , | ↑ ⟩ = ( 0 0 1 0 ) , | ↓ ⟩ = ( 0 0 0 1 ) .

als 4 Basisvektoren im Supervektorraum C 2 | 2 . Mit anderen Worten, der Fockraum ist isomorph zu C 2 | 2 .

Die fermionischen Operatoren werden dargestellt durch ( 2 + 2 ) × ( 2 + 2 ) Supermatrizen ein E N D ( C 2 | 2 ) = L ( C 2 | 2 , C 2 | 2 ) . Sie werden vier haben 2 × 2 Blöcke. Zum Beispiel:

(2) C ^ ↑   =   ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) , C ^ ↑ †   =   ( 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ) .

Beachten Sie, dass beide obigen Supermatrizen Grassmann-ungerade sind, trotz der Tatsache, dass alle Nicht-Null-Matrixelemente Grassmann-gerade sind. Dies liegt daran, dass die Nicht-Null-Matrixelemente in der Nebendiagonale sitzen 2 × 2 Bose-Fermi-Blöcke.

Außerdem kann man überprüfen, ob der Antikommutator der beiden obigen Supermatrizen (2) der ist 4 × 4 Identitätsmatrix, wie es sein sollte, um die CAR-Algebra nachzuahmen .

Die Betreiber C ^ ↓ Und C ^ ↓ † haben ähnliche Darstellungen in Bezug auf Supermatrizen. Wir überlassen es dem Leser als Übung, sie zu erarbeiten.

Beachten Sie, dass die Gleichheitszeichen ' = ' in Gl. (1) & (2) bedeuten, dass sie durch dargestellt werden und nicht gleich sind. Beachten Sie insbesondere, dass Grassmann-Nummern immer noch mit den Betreibern/Zuständen basierend auf ihrer Grassmann-Parität pendeln/antikommutieren.

II) Wenn es keine Grassmann-Variablen gibt, sondern nur fermionische Operatoren und Zustände, dann können wir den fermionischen Fockraum als äußere Algebra darstellen ⋀ ∙ v erzeugt durch den Raum der 1-Teilchen-Zustände

(3) v   :=   S P A N C { | ↑ ⟩ , | ↓ ⟩ }   ≅   C 2 .
Der Vakuumzustand | 0 ⟩ ist implementiert als
(4) ⋀ 0 v   ≅   C   ≅   C | 0 ⟩ .
Die 2 Erzeugungs- und 2 Vernichtungsoperatoren erzeugen eine Clifford-Algebra C l ( W ) ≅ C 16 , Wo
(5) W   :=   S P A N C { C ^ ↑ , C ^ ↑ † , C ^ ↓ , C ^ ↓ † }   =     S P A N C { γ ^ μ | μ = 1 , 2 , 3 , 4 }   ≅   C 4 ,
Wo
(6) γ ^ 1   =   C ^ ↑ + C ^ ↑ † , γ ^ 2   =   C ^ ↓ + C ^ ↓ † γ ^ 3   =   C ^ ↑ − C ^ ↑ † ich , γ ^ 4   =   C ^ ↓ − C ^ ↓ † ich ,
so dass
(7) { γ ^ μ , γ ^ v } +   =   2 δ μ v 1 ^ ,
vgl. zB Art.-Nr. 1. Es ist bekannt, dass die Clifford-Algebra C l ( W ) vertreten werden kann durch 4 × 4 Dirac-Matrizen.

Verweise:

  1. MB Green, JH Schwarz & E. Witten, Superstring-Theorie, Bd. 1, No. 1, 1986; Anhang 5.A.
Auf jeden Fall können Sie diese fermionischen Operatoren durch Matrizen darstellen, was die Standard-Quantenmechanik ist! Aber Sie können dies nicht für Grassmann-Variablen tun. Das habe ich in meiner Antwort behauptet.
Damit ist die Frage nicht beantwortet, denn Grassmann-Variablen bleiben Grassmann-Variablen, die keine Operatoren sind und nicht auf eine Menge reeller Zahlen reduziert werden können!
Um eine Entität durch eine Matrix darzustellen, ist in der Quantenmechanik die Voraussetzung, dass diese Entität im Hilbertraum agieren muss. Eine Grassmannn-Variable ist kein Operator und arbeitet nicht im Hilbert-Raum. Es ist also unmöglich, es als Matrix darzustellen.

Es gibt keine Möglichkeit, Grassmann-Variablen mit Matrizen darzustellen! Tatsächlich ist dies das große Hindernis, das die Verwendung des sogenannten Quantenzustandsdiffusionsansatzes für Systeme in fermionischen Bädern behindert. Sie können viele Artikel dazu finden, indem Sie dieses Thema googeln. Auch einzelne Grassmann-Variablen haben keine physikalische Bedeutung. Es ist etwas, das hauptsächlich für die "Buchhaltung" in der Pfadintegralmethode erfunden wurde! Es gibt eine schöne, aber kurze Enthüllung in dem Buch von XG Wen.

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