Matrixdarstellung für fermionischen Vernichtungsoperator

Meiner Meinung nach sollte es ungefähr so ​​aussehen:

C σ = ( | 0 ⟩ ⟨ ↑ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↓↑ | ) δ σ , ↑ + ( | 0 ⟩ ⟨ ↓ | + | ↑ ⟩ ⟨ ↓↑ | ) δ σ , ↓

Wo δ ist ein Kronecker-Delta und Staaten | 0 ⟩ , | ↓ ⟩ , | ↑ ⟩ , | ↓↑ ⟩ sind orthonormal.

Jetzt verhält es sich wie ein Vernichtungsoperator

C ↓ | 0 ⟩ = | 0 ⟩ , C ↑ | 0 ⟩ = | 0 ⟩

C ↓ | ↓ ⟩ = | 0 ⟩ , C ↑ | ↓ ⟩ = | 0 ⟩

C ↓ | ↓↑ ⟩ = | ↑ ⟩ , C ↑ | ↓↑ ⟩ = | ↓ ⟩

aber Antikommutator zum Beispiel [ C ↑ , C ↓ ] + ist nicht null.

Ist es möglich, es so zu definieren (in Bezug auf Basiszustände)?

Sie werden auch auf ein anderes Problem stoßen [ C ↓ , C ↓ ] + . Wenn Sie dies tun, ziehen Sie in Betracht, weiterzumachen | ↓ ⟩ mit diesem Antikommutator. Zusätzlich zu dem von Qmechanic aufgezeigten Vorzeichenproblem haben Sie eine weitere Ungenauigkeit.

Antworten (1)

Hauptpunkt: Sie sollten die Möglichkeit zulassen, dass Vorzeichenfaktoren in die Definition der Hilbert-Raum-Darstellung von fermionischen Operatoren eingehen, vgl. fermionischer Fockraum .

Betrachten Sie die CAR-Algebra genauer

(1) { C σ , C τ } +   =   0 , { C σ , C τ † } +   =   δ σ , τ 1 , { C σ † , C τ † } +   =   0 , σ , τ ∈ { ↑ , ↓ } .

Als nächstes definieren

(2) C σ | 0 ⟩   :=   0 , | σ ⟩   :=   C σ † | 0 ⟩ , | σ τ ⟩   :=   C σ † | τ ⟩ , σ , τ ∈ { ↑ , ↓ } .

Beachten Sie, dass diese Definitionen dies implizieren

(3) | σ τ ⟩   =   − | τ σ ⟩ , σ , τ ∈ { ↑ , ↓ } .

Insbesondere

(4) | σ σ ⟩   =   0 , σ ∈ { ↑ , ↓ } .

Übrigens habe ich in einem Kommentar zur vorherigen Frage erwähnt, dass Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren für verschiedene Felder im Prinzip pendeln können. Dies entspricht der Annahme, dass der Fock-Raum das gewöhnliche Tensorprodukt ist, während es so aussieht, als wäre es der natürliche Weg, ihn als abgestuftes Tensorprodukt zu betrachten. Ich frage mich, an welchem ​​Punkt das bosonische Tensorprodukt hässlich wird? Ich denke, dass es für Spinprojektionen nahe der Rotationsinvarianz liegt, aber was ist mit zwei interagierenden, aber unterschiedlichen Feldern?
Also sollte ich meine Zustände ändern, |n>*|spin>um richtige Operatoren zu machen?
Ich habe die Antwort aktualisiert.
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