Wie wirken Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren auf Fermionen?

Question

Wie wirken Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren auf Fermionen?

Mikkel Rev

Ich mache einen Einführungskurs in QFT. Während der Quantisierung des Dirac-Feldes gibt mein Lehrbuch viele Informationen darüber, wie Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren auf Vakuum wirken, aber nichts darüber, wie sie auf Nicht-Vakuumzustände wirken. Diese brauche ich zum Rechnen

\int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \sum_{S} ({A_{\vec{P}}^{S}}^{†} A_{\vec{P}}^{S} - {B_{\vec{P}}^{S}}^{†} B_{\vec{P}}^{S}) | \vec{k}, S ⟩,

$\int \frac{\mathrm d^3 p}{(2\pi)^3} \sum_s \left( {a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger a^s_ {{\vec{p}}} - {b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger b^s_ {{\vec{p}}} \right) |\vec{k},s \rangle,$ Wo

{a_{\vec{p}}^{s}}^{†}, {b_{\vec{p}}^{s}}^{†}

${a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger, {b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger$ sind die Erzeugungsoperatoren für Fermionen bzw. Anti-Fermionen und

a_{\vec{p}}^{s}, b_{\vec{p}}^{s}

${a^s_ {{\vec{p}}}},{b^s_ {{\vec{p}}}}$ sind die Vernichtungsoperatoren von Fermionen bzw. Anti-Fermionen. Ich habe Google gesucht, aber ich konnte nach etwa 1 Stunde Suche nichts finden.

Können Sie mir sagen, wie ${a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger, {b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger, {a^s_ {{\vec{p}}}},{b^s_ {{\vec{p}}}}$ auf Nicht-Vakuum-Zustände einwirken?

Antworten (4)

Wie wirken Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren auf Fermionen?

flippiefanus · Answer 1

Das grundsätzliche Vorgehen ist wie folgt:

A_{R} (k_{1}) | k_{2}, S ⟩ = A_{R} (k_{1}) A_{S}^{†} (k_{2}) | 0 ⟩ = {A_{R} (k_{1}), A_{S}^{†} (k_{2})} | 0 ⟩ = | 0 ⟩ (2 π)^{2} ω_{1} δ (k_{1} - k_{2}) δ_{R S},

$a_r(\mathbf{k}_1) |\mathbf{k}_2,s\rangle = a_r(\mathbf{k}_1) a_s^{\dagger}(\mathbf{k}_2) |0\rangle = \{a_r(\mathbf{k}_1), a_s^{\dagger}(\mathbf{k}_2) \}|0\rangle = |0\rangle (2\pi)^2\omega_1 \delta(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2) \delta_{rs} ,$ Wo

| k_{2}, s ⟩

$|\mathbf{k}_2,s\rangle$ wird als Fermionenzustand angenommen. Für einen Anti-Fermion-Zustand würde man die verwenden

b

$b$ -Operatoren, stattdessen. Der Grund, warum man dies in Begriffen des Antikommutators ausdrücken kann, ist weil

a_{r} (k_{1}) | 0 ⟩ = 0

$a_r(\mathbf{k}_1) |0\rangle = 0$ . Die Einzelheiten des endgültigen Ausdrucks hängen von der speziellen Anti-Kommutations-Beziehung ab, die Sie verwenden. Hier habe ich eine Lorentz-konvariante Version verwendet.

Danke, können Sie auch erklären, wie $b_r(\vec{k}_1)$ , $b_r^\dagger(\vec{k}_1)$ Und $a_r^\dagger(\vec{k}_1)$ wirkt auf $| \vec{k}_2,s\rangle$ oder nur das Ergebnis angeben? Danke
Und hinzufügen $b_r^\dagger(\vec{k}) | 0 \rangle$ zur Vollständigkeit? :)
Vielleicht können Sie in Ihrer Frage die Definitionen für hinzufügen $a_s(\mathbf{k})$ , $b_s(\mathbf{k})$ , usw.
Danke für Ihre Antwort. Ich habe die Definitionen wie gewünscht hinzugefügt.

Charlie · Answer 2

Wenn Sie rechnen müssen

\int \frac{D^{3} P}{(2 π)^{3}} \sum_{S} ({A_{\vec{P}}^{S}}^{†} A_{\vec{P}}^{S} - {B_{\vec{P}}^{S}}^{†} B_{\vec{P}}^{S}) | \vec{k}, R ⟩,

$\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \sum_s ( {a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger a^s_ {{\vec{p}}} - {b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger b^s_ {{\vec{p}}} ) |\vec{k},r \rangle,$ du wirst brauchen

{a_{\vec{p}}^{s}}^{†} a_{\vec{p}}^{s} | \vec{k}, r ⟩

${a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger a^s_ {{\vec{p}}}|\vec{k},r \rangle$ Und

{b_{\vec{p}}^{s}}^{†} b_{\vec{p}}^{s} | \vec{k}, r ⟩

${b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger b^s_ {{\vec{p}}} |\vec{k},r \rangle$ . Da Sie es mit Dirac-Feldern zu tun haben, erhalten Sie diese mithilfe der Antikommutierungsbeziehungen (mit den richtigen Normalisierungsfaktoren - und ich weiß nicht, welche Konvention Sie verwenden):

{A_{\vec{P}}^{S}, {A_{\vec{Q}}^{R}}^{†}} = δ_{S R} δ (\vec{P} - \vec{Q}), {B_{\vec{P}}^{S}, {B_{\vec{Q}}^{R}}^{†}} = δ_{S R} δ (\vec{P} - \vec{Q}), {A_{\vec{P}}^{S}, {B_{\vec{Q}}^{R}}^{†}} = {B_{\vec{P}}^{S}, {A_{\vec{Q}}^{R}}^{†}} = 0.

$\{{a^s_ {{\vec{p}}}},{a^r_ {{\vec{q}}}}^\dagger\}=\delta_{sr}\delta(\vec{p}-\vec{q}),\\ \{{b^s_ {{\vec{p}}}},{b^r_ {{\vec{q}}}}^\dagger\}=\delta_{sr}\delta(\vec{p}-\vec{q}),\\ \{{a^s_ {{\vec{p}}}},{b^r_ {{\vec{q}}}}^\dagger\}=\{{b^s_ {{\vec{p}}}},{a^r_ {{\vec{q}}}}^\dagger\}=0.\\$ und das zu wissen

a_{\vec{p}}^{s} | 0 ⟩ = b_{\vec{p}}^{s} | 0 ⟩ = 0

${a^s_ {{\vec{p}}}}|0\rangle={b^s_ {{\vec{p}}}}|0\rangle=0$ .

Es folgt die Antwort mit dem gleichen Verfahren, das @flipiefanus verwendet.

Nogueira · Answer 3

Alles, was Sie brauchen, sind die (Anti-)Vertauschungsbeziehungen und die Definitionen der Zustände in Form von Erzeugungsoperatoren, die auf den Vakuumzustand wirken.

zB ein Staat $|\psi\rangle$ aus zwei Teilchen:

C_{k} | ψ ⟩ = C_{k} (\sum_{ich < J} ψ_{ich J} | ich, J ⟩) = \sum_{ich < J} ψ_{ich J} C_{k} C_{ich}^{†} C_{J}^{†} | 0 ⟩

$c_k|\psi\rangle =c_k\left(\sum_{i<j}\psi_{ij}|i,j\rangle\right)= \sum_{i<j}\psi_{ij}c_k c_i^{\dagger}c_j^{\dagger}|0\rangle$

Dann pendelt $c_k$ mit $c_i^{\dagger}$ Und $c_j^{\dagger}$ bis der Vakuumzustand erreicht und vernichtet wird.

\sum_{ich < J} ψ_{ich J} ({[C_{k}, C_{ich}^{†}]}_{+} - C_{ich}^{†} C_{k}) C_{J}^{†} | 0 ⟩ = \sum_{ich < J} ψ_{ich J} ({[C_{k}, C_{ich}^{†}]}_{+} C_{J}^{†} - C_{ich}^{†} {[C_{k}, C_{J}^{†}]}_{+}) | 0 ⟩ = \sum_{ich < J} ψ_{ich J} ({[C_{k}, C_{ich}^{†}]}_{+} | J ⟩ - {[C_{k}, C_{J}^{†}]}_{+} | ich ⟩)

$\sum_{i<j}\psi_{ij}\left(\left[ c_k ,\, c_i^{\dagger}\right]_+ - c_i^{\dagger}c_k\right) c_j^{\dagger}|0\rangle=\sum_{i<j}\psi_{ij}\left(\left[ c_k ,\, c_i^{\dagger}\right]_+c_j^{\dagger} - c_i^{\dagger} \left[ c_k ,\, c_j^{\dagger}\right]_+ \right) |0\rangle = \sum_{i<j}\psi_{ij}\left(\left[ c_k ,\, c_i^{\dagger}\right]_+|j\rangle - \left[ c_k ,\, c_j^{\dagger}\right]_+ |i\rangle \right)$

Herr_Mitesch · Answer 4

Ergebnis: Das einzige, was Sie für diese Berechnung wirklich brauchen, ist die Definition von Ein-(Anti)-Teilchen-Zuständen (siehe unten) und die Anwendung von Vernichtungsoperatoren auf diese, gegeben durch

A_{{\vec{P}}_{1}}^{S_{1}} | {\vec{P}}_{2}, S_{2}; 0, 0 ⟩ = δ_{S_{1}, S_{2}} δ^{3} ({\vec{P}}_{1} - {\vec{P}}_{2}) | 0 ⟩, B_{{\vec{Q}}_{1}}^{R_{1}} | 0, 0; {\vec{Q}}_{2}, R_{2} ⟩ = δ_{R_{1}, R_{2}} δ^{3} ({\vec{Q}}_{1} - {\vec{Q}}_{2}) | 0 ⟩ .

$a_{\vec p_1}^{s_1} |\vec p_2, s_2;0,0\rangle =\delta_{s_1, s_2} \delta^3\left(\vec p_1 - \vec p_2\right) |0\rangle,\\b_{\vec q_1}^{r_1} |0,0;\vec q_2, r_2\rangle=\delta_{r_1, r_2} \delta^3\left(\vec q_1 - \vec q_2\right) |0\rangle.\\\\$

Herleitung: Sie haben nach der Wirkung von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf Ein-Teilchen-Zustände gefragt, gegeben durch

| \vec{P}, S; \vec{0}, 0 ⟩ = A_{\vec{P}}^{S †} | 0 ⟩ | 0, 0; \vec{P}, S ⟩ = B_{\vec{P}}^{S †} | 0 ⟩ .

$|\vec p, s; \vec 0, 0\rangle = a_{\vec{p}}^{s\dagger}|0\rangle\\ |0,0;\vec p, s\rangle = b_{\vec{p}}^{s\dagger}|0\rangle.$

Es ist sinnvoll, auch die folgenden Zwei-Teilchen-Zustände zu definieren, die nur dann wieder alle ungleich Null sind ${\vec p_i, s_i}$ Und ${\vec q_j, s_j}$ sind jeweils verschieden.

| \vec{P}, S; \vec{Q}, R ⟩ = \frac{1}{2} (A_{\vec{P}}^{S †} B_{\vec{Q}}^{R †} - B_{\vec{Q}}^{R †} A_{\vec{P}}^{S †}) | 0 ⟩ | {\vec{P}}_{1}, S_{1}, {\vec{P}}_{2}, S_{2}; \vec{0}, 0 ⟩ = \frac{1}{2} (A_{{\vec{P}}_{1}}^{S_{1} †} A_{{\vec{P}}_{2}}^{S_{2} †} - A_{{\vec{P}}_{2}}^{S_{2} †} A_{{\vec{P}}_{1}}^{S_{1} †}) | 0 ⟩ | \vec{0}, 0; {\vec{Q}}_{1}, R_{1}, {\vec{Q}}_{2}, R_{2} ⟩ = \frac{1}{2} (B_{{\vec{Q}}_{1}}^{R_{1} †} B_{{\vec{Q}}_{2}}^{R_{2} †} - B_{{\vec{Q}}_{2}}^{R_{2} †} B_{{\vec{Q}}_{1}}^{R_{1} †}) | 0 ⟩

$|\vec p, s; \vec q, r\rangle = \frac{1}{2}\left(a_{\vec{p}}^{s\dagger}b_{\vec{q}}^{r\dagger}-b_{\vec{q}}^{r\dagger}a_{\vec{p}}^{s\dagger}\right)|0\rangle\\ |\vec p_1, s_1, \vec p_2, s_2;\vec 0,0\rangle = \frac{1}{2}\left(a_{\vec{p}_1}^{s_1\dagger}a_{\vec{p}_2}^{s_2\dagger}-a_{\vec{p}_2}^{s_2\dagger}a_{\vec{p}_1}^{s_1\dagger}\right)|0\rangle\\|\vec 0,0;\vec q_1, r_1, \vec q_2, r_2\rangle = \frac{1}{2}\left(b_{\vec{q}_1}^{r_1\dagger}b_{\vec{q}_2}^{r_2\dagger}-b_{\vec{q}_2}^{r_2\dagger}b_{\vec{q}_1}^{r_1\dagger}\right)|0\rangle$ wobei wir uns gerade für eine (anti-)symmetrische Definition entschieden haben - es ist klar, dass unter Verwendung der entsprechenden Antikommutierungsbeziehungen alle diese Zustände ohne den Unterschied zweier Terme geschrieben werden können.

Um nun die Wirkung dieser Operatoren zu finden, werden wir die erwähnten Antikommutierungsbeziehungen verwenden

{A_{\vec{P}}^{S}, A_{\vec{Q}}^{R}} = 0 {A_{\vec{P}}^{S †}, A_{\vec{Q}}^{R †}} = 0 {A_{\vec{P}}^{S}, A_{\vec{Q}}^{R †}} = δ^{R S} δ^{3} (\vec{P} - \vec{Q})

$\{a_{\vec p}^s, a_{\vec q}^r\}=0 \qquad \{a_{\vec p}^{s\dagger}, a_{\vec q}^{r\dagger}\}=0\\ \{a_{\vec p}^s, a_{\vec q}^{r\dagger}\}=\delta^{rs} \delta^3(\vec p - \vec q)$ und ähnliches für die

b

$b$ -Betreiber. Auch jeder

b

$b$ antipendelt mit jedem

a

$a$ .

Beachten Sie, dass die obigen Zustände ausreichend normalisiert sind, vorausgesetzt, das Vakuum $|0\rangle$ Ist:

⟨ \vec{P}, S; \vec{0}, 0 | \vec{Q}, R; 0, 0 ⟩ = ⟨ 0 | A_{\vec{Q}}^{R} A_{\vec{P}}^{S †} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | {A_{\vec{Q}}^{R}, A_{\vec{P}}^{S †}} | 0 ⟩ = δ^{R S} δ^{3} (\vec{P} - \vec{Q})

$\langle \vec p, s; \vec 0, 0|\vec q, r; 0, 0\rangle = \langle 0| a_{\vec{q}}^{r}a_{\vec{p}}^{s\dagger}|0\rangle\\ = \langle 0|\{a_{\vec{q}}^{r},a_{\vec{p}}^{s\dagger}\}|0\rangle\\=\delta^{rs} \delta^3(\vec p-\vec q)$ Aus der Tatsache, dass alle b's und a's antikommutieren, können wir sofort ableiten

B_{\vec{P}}^{S} | \vec{Q}, R; 0, 0 ⟩ = 0, A_{\vec{P}}^{S} | 0, 0; \vec{Q}, R ⟩ = 0.

$b_{\vec p}^s |\vec q, r;0,0\rangle = 0, \\a_{\vec p}^s |0,0;\vec q, r\rangle = 0.$ Auch weil die Schöpfungsoperatoren mit sich selbst antikommutieren, haben wir

{(A_{\vec{P}}^{S †})}^{2} = 0 = {(B_{\vec{P}}^{S †})}^{2}

$\left(a_{\vec p}^{s\dagger}\right)^2 = 0 =\left(b_{\vec p}^{s\dagger}\right)^2$ so dass

A_{\vec{P}}^{S †} | \vec{P}, S; 0, 0 ⟩ = 0 = B_{\vec{P}}^{S †} | 0, 0; \vec{P}, S ⟩ .

$a_{\vec p}^{s\dagger} |\vec p, s; 0, 0\rangle = 0 = b_{\vec p}^{s\dagger} |0,0;\vec p, s\rangle.$ Wenn wir natürlich mit Erzeugungsoperatoren mit unterschiedlichen Impulsen und/oder Spins auf die Ein-Teilchen-Zustände einwirken, werden wir die obigen Zwei-Teilchen- (und Teilchen-Antiteilchen-Zustände) erzeugen. Wir können dies folgendermaßen mit der letzten Formel kombinieren:

A_{{\vec{P}}_{1}}^{S_{1} †} | {\vec{P}}_{2}, S_{2}; 0, 0 ⟩ = (1 - δ_{S_{1}, S_{2}} δ_{{\vec{P}}_{1}, {\vec{P}}_{2}}) | {\vec{P}}_{1}, S_{1}, {\vec{P}}_{2}, S_{2}; 0, 0 ⟩ B_{{\vec{P}}_{1}}^{S_{1} †} | 0, 0; {\vec{P}}_{2}, S_{2} ⟩ = (1 - δ_{S_{1}, S_{2}} δ_{{\vec{P}}_{1}, {\vec{P}}_{2}}) | 0, 0; {\vec{P}}_{1}, S_{1}, {\vec{P}}_{2}, S_{2} ⟩ A_{\vec{P}}^{S †} | 0, 0; \vec{Q}, R ⟩ = | \vec{P}, S; \vec{Q}, R ⟩ B_{\vec{Q}}^{R †} | P, S; 0, 0 ⟩ = - | \vec{P}, S; \vec{Q}, R ⟩

$a_{\vec p_1}^{s_1\dagger} |\vec p_2, s_2;0,0\rangle = (1-\delta_{s_1, s_2}\delta_{\vec p_1, \vec p_2})|\vec p_1, s_1, \vec p_2, s_2; 0,0\rangle\\ b_{\vec p_1}^{s_1\dagger} |0,0;\vec p_2, s_2\rangle = (1-\delta_{s_1, s_2}\delta_{\vec p_1, \vec p_2})|0,0;\vec p_1, s_1, \vec p_2, s_2\rangle\\ a_{\vec p}^{s\dagger} |0,0;\vec q, r\rangle = |\vec p, s; \vec q, r\rangle\\ b_{\vec q}^{r\dagger} |p, s;0,0\rangle = -|\vec p, s; \vec q, r\rangle$

Nun das wirklich Interessante $^{1}$ etwas passiert, wenn wir ein Teilchen aus dem Ein-Teilchen-Zustand (oder ein Anti-Teilchen aus dem Ein-Anti-Teilchen-Zustand) vernichten.

A_{{\vec{P}}_{1}}^{S_{1}} | {\vec{P}}_{2}, S_{2}; 0, 0 ⟩ = A_{{\vec{P}}_{1}}^{S_{1}} A_{{\vec{P}}_{2}}^{S_{2} †} | 0 ⟩ = {A_{{\vec{P}}_{1}}^{S_{1}}, A_{{\vec{P}}_{2}}^{S_{2} †}} | 0 ⟩ = δ_{S_{1}, S_{2}} δ^{3} ({\vec{P}}_{1} - {\vec{P}}_{2}) | 0 ⟩

$a_{\vec p_1}^{s_1} |\vec p_2, s_2;0,0\rangle = a_{\vec p_1}^{s_1}a_{\vec p_2}^{s_2\dagger}|0\rangle \\=\{a_{\vec p_1}^{s_1}, a_{\vec p_2}^{s_2\dagger}\}|0\rangle \\=\delta_{s_1, s_2} \delta^3\left(\vec p_1 - \vec p_2\right) |0\rangle$ und analog

B_{{\vec{Q}}_{1}}^{R_{1}} | 0, 0; {\vec{Q}}_{2}, R_{2} ⟩ = δ_{R_{1}, R_{2}} δ^{3} ({\vec{Q}}_{1} - {\vec{Q}}_{2}) | 0 ⟩

$b_{\vec q_1}^{r_1} |0,0;\vec q_2, r_2\rangle=\delta_{r_1, r_2} \delta^3\left(\vec q_1 - \vec q_2\right) |0\rangle$

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