Minuszeichen im Zeitordnungsoperator

Vielleicht der einfachste Weg, um zu sehen, dass es einen Grassmann-Vorzeichenfaktor geben sollte$(-1)^{|A| |B|}$in der Definition der Zeitordnung

$$\tag{1} {\cal T} \left\{ A(t_A) B(t_B)\right\} ~:=~ \theta(t_A-t_B) A(t_A) B(t_B) + (-1)^{|A| |B|} \theta(t_B-t_A) B(t_B) A(t_A), \qquad$$

ist bis zur klassischen Grenze zu gehen$\hbar\to 0$. Hier$|A|$bezeichnet die Grassmann-Parität, die ist$0~{\rm mod}~2$Wenn$A$ist ein Boson, und$1~{\rm mod}~2$Wenn$A$ist ein Fermion. Darüber hinaus,$\theta$ist die Heaviside-Schrittfunktion . In der klassischen Grenze sollten alle Felder superkommutieren, was bedeutet, dass der Superkommutator

$$\tag{2} [A,B]~:=~ AB - (-1)^{|A| |B|}BA~=~0 \qquad\leftarrow \text{classically}\qquad$$

sollte verschwinden. Dies folgt aus dem Korrespondenzprinzip zwischen QM und klassischer Mechanik:

$$\begin{array}{ccc} \text{Operator} &\longleftrightarrow& \text{Symbol/Super-function}\cr A& \longleftrightarrow& a \cr B& \longleftrightarrow& b \cr [A,B]& \longleftrightarrow&i\hbar \{a,b\}_{PB}+ {\cal O}(\hbar^2)\cr \text{Supercommutator}&\longleftrightarrow& \text{Super-Poisson bracket.}\end{array} \tag{3}$$ Insbesondere sollte die Zeitreihenfolge im klassischen Limit keine Rolle spielen $\hbar\to 0$:

$$\tag{4} {\cal T} \left\{ A(t_A) B(t_B)\right\}~=~A(t_A) B(t_B)~=~(-1)^{|A| |B|}B(t_B)A(t_A).\qquad\leftarrow \text{classically}\qquad$$

Dies wird aber nur der Fall sein, wenn wir den Grassmann-Vorzeichenfaktor einbeziehen$(-1)^{|A| |B|}$in der Definition (1).