Zweite Quantisierung: MÜSSEN Fermionenoperatoren an verschiedenen Orten antikommutieren?

Bei der zweiten Quantisierung nehmen wir an, dass wir Fermion-Operatoren haben A ich die befriedigen { A ich , A J } = 0 , { A ich , A J † } = δ ich J , { A ich † , A J † } = 0 . Eine andere Art, dies zu sagen, ist das

A ich † | N 1 , . . . , N ich , . . . , N N ⟩ = { ( − 1 ) ∑ J < ich N J | N 1 , . . . , N ich + 1 , . . . , N N ⟩ N ich = 0 0 N ich = 1 |

A ich | N 1 , . . . , N ich , . . . , N N ⟩ = { ( − 1 ) ∑ J < ich N J | N 1 , . . . , N ich − 1 , . . . , N N ⟩ N ich = 1 0 N ich = 0 |
woraus sich die obigen Beziehungen ableiten lassen.

Ich verstehe, warum die Betreiber auf denselben Sites die Antikommutierungsbeziehungen einhalten müssen, da sonst der Pauli-Ausschluss verletzt würde. Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe, warum die Betreiber an verschiedenen Standorten jedoch Antipendeln müssen.

Warum können wir keine Algebra von fermionischen Operatoren haben, die Antikommutierungsbeziehungen für gehorchen ich = J , und ansonsten den Beziehungen gehorchen [ A ich ( † ) , A J ( † ) ] = 0 ? Wir könnten die Operatoren definieren durch

A ich † | N 1 , . . . , N ich , . . . , N N ⟩ = { | N 1 , . . . , N ich + 1 , . . . , N N ⟩ N ich = 0 0 N ich = 1 |

A ich | N 1 , . . . , N ich , . . . , N N ⟩ = { | N 1 , . . . , N ich − 1 , . . . , N N ⟩ N ich = 1 0 N ich = 0 |
ohne das Vorzeichen vor dem ket, aus dem sich die neuen Vertauschungs-/Antivertauschungsbeziehungen ableiten lassen. Ist das irgendwie illegal? Sind die Operatoren, die ich definiert habe, nicht wirklich wohldefiniert? Gibt es eine Möglichkeit, die von mir angegebene Definition zu verwenden, um einen Widerspruch zu erhalten? Oder nehmen wir einfach an, dass die Fermionenoperatoren aus Gründen der Notation antikommutieren?

Bisher beweisen alle Bücher / PDFs, die ich mir angesehen habe, dass die Antikommutierungsbeziehungen für Fermionoperatoren auf derselben Site gelten, und nehmen dann an, dass Antikommutierungsbeziehungen an verschiedenen Sites gelten.

Ich denke, operativ sieht dies wie ein Jordan-Wigner-Transformationsoperator aus, nur ohne die "Zeichenfolge". Ich denke, das könnte mit der Frage zusammenhängen: Was läuft schief, wenn wir die Zeichenfolge in einer Jordan-Wigner-Transformation vergessen?

Antworten (3)

Auf der bloßen Ebene der "zweiten Quantisierung" ist nichts falsch daran, wenn fermionische Operatoren mit anderen fermionischen Operatoren tauschen. Sie "wissen" nicht, dass sie Operatoren für "dasselbe Fermion" an verschiedenen Standorten sind, also könnten sie genauso gut pendeln.

Aber der tiefere Grund dafür, dass fermionische Operatoren an verschiedenen Orten antikommutieren, ist, dass sie nur Moden desselben fermionischen Feldes in der zugrunde liegenden QFT sind und die Moden eines Spinorfelds antikommutieren, weil die Felder selbst antikommutieren, und diese Beziehung von ihren Moden geerbt wird .

Das im Wesentlichen gleiche Argument in einer anderen Formulierung besagt, dass fermionische Zustände unter Austausch identischer Fermionen antisymmetrisch sein müssen . Dies ist ein Postulat der QM/"zweiten Quantisierung" und wird erst in der QFT als Spin-Statistik-Theorem zu einer abgeleiteten Aussage . Also müssen Sie diesen Austausch haben ich ↔ J verursacht ein Minus bei dem Zustand, der eine fermionische Erregung aufweist ich und eine andere bei J - und das entspricht genau A ich † Und A J † Anti-Pendeln.

Es ist gleichbedeutend, die Bediener an verschiedenen Standorten zu bitten, zu pendeln oder zu entpendeln. Es gibt nämlich immer eine sogenannte Klein-Transformation, die die Kommutierung zwischen verschiedenen Orten verändert. Wenn sie antikommutieren, spricht man von natürlichen Kommutierungsbeziehungen.

Die von Ihnen vorgeschlagenen gemischten (Anti-)Vertauschungsbeziehungen werden oft von Theoretikern der kondensierten Materie untersucht. Aber sie werden nicht Fermionen genannt, sondern eher "Hardcore-Bosonen", um die Tatsache widerzuspiegeln, dass sie an verschiedenen Orten pendeln und eine andere Physik als gewöhnliche Fermionen aufweisen.

Zweite Quantisierung: MÜSSEN Fermionenoperatoren an verschiedenen Orten antikommutieren?
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