Auferlegen von Antikommutierungsbeziehungen auf fermionische Quasiteilchen

Alles zurückgeführt auf die Landau-Theorie der Fermi-Flüssigkeit , als Landau annahm, dass die angeregten Zustände einer Fermi-Flüssigkeit (eine Fermi-Flüssigkeit ist ein Fermi-Gas mit einer zusätzlichen Zweikörper-Wechselwirkung, oder Elektron-Phonon-Wechselwirkung, ...) gehorcht Fermi-Dirac-Statistik. Landau prägte den Begriff Quasiteilchen für die angezogenen Elektronen: ein herkömmliches Elektron, das von einer wechselwirkenden Wolke aus Abschirmladungen umgeben ist, oder ein Elektron-Phonon-Verbundteilchen (genannt Plasmonen). Jedes Buch über Metall würde darüber sprechen. Die bekanntesten sind

• AA Abrikosov Grundlagen der Metalltheorie Nordholland (1988)
• AA Abrikosov, LP Gor'kov, & IE Dzyaloshinsky Methoden der Quantenfeldtheorie in der statistischen Physik Prentice Hall (1963).
• Philippe Nozières & David Pines Theorie der Quantenflüssigkeiten Westview Press (1999).

für die Bücher der ersten Generation, die sich mit diesen Themen befassen. Ich würde moderne Bücher zu Ihrer Frage so weit wie möglich vermeiden, da sie normalerweise sehr schlampig sind. [NB: Aus gutem Grund: Moderne Entwicklungen der kondensierten Materie weisen manchmal Quasi-Teilchen auf, die weder Bosonen noch Fermionen sind, aber das ist eine andere Geschichte.]

Eine wirklich pädagogische Einführung in das Quasi-Partikel-Thema (was er p Artikel notiert ) ist in

• RD Mattuck Ein Leitfaden für Feynman-Diagramme im Vielteilchenproblem Dover (1992)

insbesondere Kapitel 2, 4 und 8.

Gute Literatur zur Supraleitung, insbesondere zur Bogoliubov-Transformation, sind neben der Originalliteratur (ziemlich schwer zu verstehen, daher gebe ich Ihnen die Referenzen nicht)

• PG de Gennes, Supraleitung von Metallen und Legierungen , Westview (1966).
• AI Fetter und JD Walecka, Quantentheorie von Vielteilchensystemen Dover Publications (2003, Erstausgabe 1971)

Das waren die Details, die Trimok in ihrer / seiner ausgezeichneten Antwort vergisst .

Hier folge ich diesem Hinweis

Wir betrachten hier Paare aus 2 fermionischen Partnern. Wir assoziieren einen anderen Wert eines Parameters$\sigma$für jeden der Partner.

Die fermionischen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren verifizieren:

$[c_{k,\sigma},c_{k',\sigma'}]_+ = 0$Und$[c_{k,\sigma},c^+_{k',\sigma'}]_+ = \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')$

Die Bogoliubov-Valatin-Transformation lautet:

$b_{k,\sigma} = (u_k ~c_{k,\sigma} - \sigma ~v_k~ c^+_{-k,-\sigma})$,$b^+_{k,\sigma} = (u_k ~c^+_{k,\sigma} - \sigma ~v_k~ c_{-k,-\sigma})$

Der Einfachheit halber hier$u_k$Und$v_k$sind angeblich echt.

Also haben wir :

$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = - u_kv_{k'}\sigma'[c_{k,\sigma},c^+_{-k',-\sigma'}]_+ - v_{k}u_{k'}\sigma[c^+_{-k,-\sigma},c_{k',\sigma'}]_+$

$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = - (u_kv_{k'}\sigma'+ v_{k}u_{k'}\sigma)\delta(k + k')\delta(\sigma + \sigma')$

$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = \sigma (u_kv_{k'} - v_{k}u_{k'})\delta(k + k')\delta(\sigma + \sigma')$

$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = \sigma (u_kv_{-k} - u_{-k}v_{k})\delta(k + k')\delta(\sigma + \sigma')~~~~~~~~~~~~~~~$ $(1)$

Die gleiche Beziehung gilt für$[b^+_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+$

Wir haben auch:

$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = u_ku_{k'}[c_{k,\sigma},c^+_{k',\sigma'}]_+ +\sigma \sigma' v_{k}v_{k'}[c^+_{-k,-\sigma},c_{-k',-\sigma'}]_+$

$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = (u_ku_{k'} + \sigma \sigma' v_{k}v_{k'}) \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')$

$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = (u_k^2 + v_k^2) \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ $(2)$

Nun angenommen:

$$u_k = u_{-k}, v_k = v_{-k}, (u_k^2 + v_k^2) = 1~~~~~~~~~~~~~~(3)$$ : Dies ist eine kanonische Transformation.

Aus Gleichung$(1)$, Wir bekommen :

$$[b_{k,\sigma},b_{k',\sigma'}]_+ = [b^+_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+=0$$

Aus Gleichung$(2)$, wir bekommen :

$$[b_{k,\sigma},b^+_{k',\sigma'}]_+ = \delta(k - k')\delta(\sigma - \sigma')$$

Dies zeigt, dass die Betreiber$b_{k,\sigma}, b^+_{k,\sigma}$sind fermionische Operatoren, die Antikommutierungsbeziehungen verifizieren.

Siehe Referenz – Kapitel 8-4, Seite 46

[EDIT] Jetzt können wir zeigen, dass es möglich ist, zu finden$u_k and v_k$, so dass sie der Gleichung (3) gehorchen, also einer kanonischen Transformation entsprechen.

Wir geben hier nur die Logik gefolgt von der Referenz an und zitieren die genaue Gleichung und Seite.

1) Schreiben Sie einen Hamiltonoperator mit den neuen Operatoren$b_k, b^+_k$:

$$Formula~ (156)~ page~ 47$$

2) Einführung der Betreibernummer$n_k$, Ausdruck des Hamiltonoperators mit diesen Operatoren und Suche nach einem Eigenwert$E$:

$$Formula~ (157 - 158)~ page~ 48$$

3) Minimierung von E relativ zu$u_k$

$$Formula~ (159)~ page~ 48$$

4) Ausdruck von$u_k,v_k$Funktion der Energien$\epsilon_k$, Chemisches Potential$\mu$, und eine Menge$\Delta$(Diese letzte Menge hängt ab von$u_k,v_k,n_k$)

$$Formula~ (160, 161)~ page~ 48$$

5) An dieser Stelle die Notwendigkeit von$u_k,v_k$eine kanonische Transformation darstellen, geben Sie eine Gleichung für die Größe an$\Delta$

$$Formula~ (162)~ page~ 48$$

6) Visualisierung der Parameter$u_k,v_k$.

$$Figure ~ (36)~ page~ 49$$

7) Mean-Field-Approximation: Der letzte Term des Hamilton-Operators wird modifiziert und der Mean-Field-Hamilton-Operator erscheint diagonal:

$$Formula~ (164)~ page~ 49$$

8) Schluss der Referenz (Anfang Seite 50)

„Die Tatsache, dass die Bogoliubov-Valatin-Transformation den BCS-Hamilton-Operator zumindest in Mean-Field-Approximation diagonalisiert, rechtfertigt a posteriori unsere Annahme, dass der Grundzustand als Eigenzustand der ˆb-Besetzungszahloperatoren zu finden ist. In der Literatur der Schlüssel Beziehungen (160) werden oft als Diagonalisierung des Mittelfeld-BCS-Hamilton-Operators abgeleitet, anstatt den Energieausdruck (158) zu minimieren.Tatsächlich sind beide Zusammenhänge gleich wichtig und liefern nur zusammen die Lösung dieses Hamilton-Operators.Eindeutig basiert die BCS-Theorie auf dieser Lösung ist eine Mean-Field-Theorie."