Ableitung einer Antikommutierungsbeziehung zwischen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren für Dirac-Fermionen

Question

Ableitung einer Antikommutierungsbeziehung zwischen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren für Dirac-Fermionen

Physik
Fermionen
Antikommutator
Dirac-Gleichung
zweite Quantisierung
Quantenfeldtheorie

Mors

Ausgehend von Dirac-Feldern:

Ψ (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int \frac{D^{3} k}{\sqrt{2 ω_{k}}} \sum_{R} {[C_{R} (k) u_{R} (k) e^{- ich k X} + D_{R}^{†} (k) v_{R} (k) e^{- ich k X}]}_{k_{0} = ω_{k}}

$\Psi(x) = \dfrac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \dfrac{d^3k}{\sqrt{2\omega_k}}\sum_r\left[ c_r(k)u_r(k)e^{-ikx}+d^\dagger_r(k)v_r(k)e^{-ikx} \right]_{k_0=\omega_k}$

Ψ^{†} (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int \frac{D^{3} k}{\sqrt{2 ω_{k}}} \sum_{R} {[D_{R} (k) v_{R}^{†} (k) e^{- ich k X} + C_{R}^{†} (k) u_{R}^{†} (k) e^{ich k X}]}_{k_{0} = ω_{k}}

$\Psi^\dagger(x) = \dfrac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \dfrac{d^3k}{\sqrt{2\omega_k}}\sum_r\left[d_r(k)v^\dagger_r(k)e^{-ikx} + c^\dagger_r(k)u^\dagger_r(k)e^{ikx}\right]_{k_0=\omega_k}$

Wo $\omega_k = \sqrt{\vec{k}^2+m^2}$ .

Die kanonische Quatisierungsbedingung lautet:

{\begin{cases} {Ψ_{a} (X), Ψ_{β}^{†} (j)}_{T} = δ^{(3)} (\vec{X} - \vec{j}) δ_{a β} \\ {Ψ_{a} (X), Ψ_{β} (j)}_{T} = 0 \\ {Ψ_{a}^{†} (X), Ψ_{β}^{†} (j)}_{T} = 0 \end{cases}

$\begin{cases} \{\Psi_\alpha(x), \Psi^\dagger_\beta(y)\}_t = \delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})\ \ \delta_{\alpha\beta}\\ \{\Psi_\alpha(x), \Psi_\beta(y)\}_t = 0\\ \{\Psi^\dagger_\alpha(x), \Psi^\dagger_\beta(y)\}_t = 0\\ \end{cases}$

Um die Quantisierungsbedingung für die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren abzuleiten, muss ich umschreiben $c,c^\dagger,d,d^\dagger$ bezüglich $\Psi$ Und $\Psi^\dagger$ .

Beispielsweise um die kanonische Quantisierungsbedingung zwischen abzuleiten $c,c^\dagger$ Ich kann sie umschreiben als:

C_{R} (k) = \frac{1}{{\sqrt{2 π}}^{3}} \int \frac{D^{3} X}{\sqrt{2 ω_{k}}} u_{R}^{†} (k) Ψ (X) e^{ich k X}

$c_r(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}^{3}} \int \dfrac{d^3x}{\sqrt{2\omega_k}} u_r^\dagger(k) \Psi(x) e^{ikx}$

C_{S}^{†} (P) = \frac{1}{{\sqrt{2 π}}^{3}} \int \frac{D^{3} j}{\sqrt{2 ω_{P}}} Ψ^{†} (j) u_{S} (P) e^{- ich P j}

$c^\dagger_s(p) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}^{3}} \int \dfrac{d^3y}{\sqrt{2\omega_p}} \Psi^\dagger(y) u_s(p) e^{-ipy}$

und dann explizit den Antikommutator berechnen:

\begin{aligned} {C_{R} (k), C_{S}^{†} (P)}_{T} & = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int \frac{D^{3} X D^{3} j}{\sqrt{2 ω_{k} 2 ω_{P}}} [u_{R}^{†} (k) Ψ (X) Ψ^{†} (j) u_{S} (P) + Ψ^{†} (j) u_{S} (P) u_{R}^{†} (k) Ψ (X)] e^{ich (k X - P j)} \\ = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int \frac{D^{3} X D^{3} j}{\sqrt{2 ω_{k} 2 ω_{P}}} [u_{R}^{†} (k) {Ψ (X), Ψ^{†} (j)} u_{S} (P)] e^{ich (k X - P j)} \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{split} \{c_r(k), c^\dagger_s(p)\}_t &= \dfrac{1}{(2\pi)^3} \int \dfrac{d^3xd^3y}{\sqrt{2\omega_k 2\omega_p}} \left[ u_r^\dagger(k) \Psi(x)\Psi^\dagger(y) u_s(p) + \Psi^\dagger(y) u_s(p)u_r^\dagger(k) \Psi(x) \right]e^{i(kx-py)}\\ &= \dfrac{1}{(2\pi)^3} \int \dfrac{d^3xd^3y}{\sqrt{2\omega_k 2\omega_p}} \left[ u_r^\dagger(k) \{\Psi(x), \Psi^\dagger(y)\} u_s(p)\right]e^{i(kx-py)}\\ &= \cdots \end{split}$

Aber hier vermisse ich etwas: Ich verstehe nicht, warum ich tauschen kann $u_s(p)$ Und $u_r^\dagger(k)$ im zweiten Term, um den Antikommutator dazwischen wiederzugewinnen $\Psi$ Und $\Psi^\dagger$ .

Jon

In allen heiligen Lehrbüchern ist es umgekehrt. Sie postulieren die Antikommutierungsrelationen für

c_{r}

$c_r$ Und

d_{r}

$d_r$ und dann sind Sie nur noch einen Schritt davon entfernt, die Antikommutierungsbeziehungen für die Felder abzuleiten.

Antworten (2)

Ableitung einer Antikommutierungsbeziehung zwischen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren für Dirac-Fermionen

In allen heiligen Lehrbüchern ist es umgekehrt. Sie postulieren die Antikommutierungsrelationen für $c_r$ Und $d_r$ und dann sind Sie nur noch einen Schritt davon entfernt, die Antikommutierungsbeziehungen für die Felder abzuleiten.

CAF · Answer 1

Sie sollten in Kontraktion der Spinor-Indizes vorgehen und sich daran erinnern, dass zB ein Paar $u^{\dagger}(k,r) \Psi(x) \equiv u^{\dagger}_{\alpha}(k,r) \Psi_{\alpha}(x)$ , mit $u^{\dagger}_{\alpha}(k,r)$ Kennzeichnung der $\alpha^{\text{th}}$ Bestandteil des Dirac-Spinors $u^{\dagger}(k,r)$ . Deshalb,

{C (k, R), C^{†} (P, S)} \sim \int D^{3} X D^{3} j (u_{a}^{†} (k, R) Ψ_{a} (X) Ψ_{β}^{†} (j) u_{β} (P, S) + Ψ_{β}^{†} (j) u_{β} (P, S) u_{a}^{†} (k, R) Ψ_{a} (X)) = \int D^{3} X D^{3} j (u_{a}^{†} (k, R) {Ψ_{a} (X), Ψ_{β}^{†} (j)} u_{β} (P, S)) = \dots =

$\left\{c(k,r),c^{\dagger}(p,s)\right\} \sim \int d^3 x d^3 y \left(u^{\dagger}_{\alpha}(k,r) \Psi_{\alpha}(x)\Psi^{\dagger}_{\beta}(y) u_{\beta}(p,s) + \Psi^{\dagger}_{\beta}(y) u_{\beta}(p,s)u^{\dagger}_{\alpha}(k,r) \Psi_{\alpha}(x)\right) \\= \int d^3 x d^3 y \left(u^{\dagger}_{\alpha}(k,r) \left\{\Psi_{\alpha}(x),\Psi^{\dagger}_{\beta}(y)\right\} u_{\beta}(p,s)\right) = \dots =$

Beenden Sie die Übung mit Ihren kanonischen Quantisierungsfeld-Antikommutatoren zusammen mit Orthogonalitäts-/Vollständigkeitsbeziehungen zwischen den $u$ 'S.

Srijan · Answer 2

Hier $\Psi(x)$ ist eine Spaltenmatrix mit 4 Komponenten und $\Psi^\dagger(x)$ ist eine Zeilenmatrix mit 4 Zeilenelementen (natürlich sind diese Elemente Funktionen von $x$ ).

Und wenn Sie die Anti-Kommutation nehmen, wählen Sie eine Komponente (oder ein Element) $\Psi_\alpha(x)$ ab (4 $\times$ 1) Spaltenmatrix $\Psi(x)$ und in ähnlicher Weise sollten Sie eine Komponente auswählen $\Psi^\dagger_\beta(x)$ ab (1 $\times$ 4) Zeilenmatrix $\Psi^\dagger(x)$ .

\begin{aligned} Ψ_{a} (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int \frac{D^{3} k}{\sqrt{2 ω_{k}}} \sum_{R = 1, 2} {[C_{R} (k) u_{R, a} (k) e^{- ich k X} + D_{R}^{†} (k) v_{R, a} (k) e^{- ich k X}]}_{k_{0} = ω_{k}} \\ Ψ_{β}^{†} (X) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int \frac{D^{3} k}{\sqrt{2 ω_{k}}} \sum_{R = 1, 2} {[D_{R} (k) v_{R, β}^{†} (k) e^{- ich k X} + C_{R}^{†} (k) u_{R, β}^{†} (k) e^{ich k X}]}_{k_{0} = ω_{k}} \end{aligned}

$\begin{align} \Psi_\alpha(x) = \dfrac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \dfrac{d^3k}{\sqrt{2\omega_k}}\sum_{r=1,2}\left[ c_r(k)u_{r,\alpha}(k)e^{-ikx}+d^\dagger_r(k)v_{r,\alpha}(k)e^{-ikx} \right]_{k_0=\omega_k}\\ \Psi^\dagger_\beta(x) = \dfrac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int \dfrac{d^3k}{\sqrt{2\omega_k}}\sum_{r=1,2}\left[d_r(k)v^\dagger_{r,\beta}(k)e^{-ikx} + c^\dagger_r(k)u^\dagger_{r,\beta}(k)e^{ikx}\right]_{k_0=\omega_k} \end{align}$ So, jetzt können Sie dort sehen

u

$u$ Und

v

$v$ hat zwei Indizes r und

α

$\alpha$ (oder

β

$\beta$ ), Hier

r

$r$ kann dabei die Werte 1 und 2 annehmen

α

$\alpha$ (oder

β

$\beta$ ) kann die Werte 1,2,3,4 annehmen.

Oder einfach $u_{r,\alpha}$ (oder $v_{r,\alpha}$ ) ist der $\alpha$ -te Komponente (bzw $\alpha$ -tes Matrixelement) der (4 $\times$ 1) Spaltenmatrix $u_r$ (oder $v_{r}$ ).

Und ähnlich $u_{r,\alpha}^\dagger$ (oder $v_{r,\alpha}^\dagger$ ) ist der $\alpha$ -te Komponente (bzw $\alpha$ -tes Matrixelement) der (1 $\times$ 4) Zeilenmatrix $u_r^\dagger$ (oder $v_{r}^\dagger$ ).

Daher $u_{r,\alpha}$ , $v_{r,\alpha}$ , $u_{r,\alpha}^\dagger$ , $v_{r,\alpha}^\dagger$ all dies sind nur Zahlen oder die Matrixelemente, nicht die Matrizen.

Sie fahren also wie gewohnt fort und tauschen einfach aus $u_{s,\alpha}(p)$ Und $u_{r,\alpha}(k)$ (in Ihrer Notation), da es sich nur um die Zahlen oder die Komponenten (oder Elemente) der entsprechenden Matrizen handelt.

Ableitung einer Antikommutierungsbeziehung zwischen Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren für Dirac-Fermionen

Mors

Jon

Antworten (2)

CAF

Srijan

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