Beziehung zwischen Spinoren und Antikommutierungsbeziehung von Fermionen

Betrachten des Ausdrucks eines quantisierten Dirac-Feldes

$$\psi = \sum_s \int a_s(p) u_s(p) e^{-ipx} + b_s^{\dagger}(p) v_s(p) e^{ipx} \frac{d^3 p}{(2\pi)^2\sqrt{2E}} ,$$ man findet, dass es Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren enthält $a_s(p)$Und $b_s^{\dagger}(p)$, sowie Spinoren $u_s(p)$Und $v_s(p)$. Die antikommutierenden Eigenschaften des Feldes werden durch die Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren bereitgestellt, wobei die Lösung der Dirac-Gleichungen durch die Spinoren bereitgestellt wird. Infolgedessen geben Ihnen die Spinoren allein nicht die Anti-Pendel-Eigenschaften.

Der erste Absatz, wie die Leute in den Kommentaren darauf hingewiesen haben, ist in der Tat richtig.

Bei der zweiten ist die kurze Antwort nein, Sie können nicht dasselbe tun, aber die richtige Aussage ist, dass Sie nicht dasselbe tun müssen. Im Rahmen der Feldtheorie werden im Gegensatz zur klassischen Quantenmechanik bereits Mehrteilchenzustände berücksichtigt. Das heißt, die Konstruktion des Fock-Raums (siehe Zweite Quantisierung ) erfolgt durch Einwirkung von Erzeugungsoperatoren auf das Vakuum. Das Handeln mit Erzeugungsoperatoren, die mit unterschiedlichen Impulsen gekennzeichnet sind oder aus unterschiedlichen Feldern stammen, führt zu Zuständen, die Mehrteilchenzustände darstellen, sodass keine Notwendigkeit besteht, Tensorprodukte von Spinoren zu nehmen.

Nichtsdestotrotz unterliegen fermionische Felder (Lösungen der Dirac-Gleichung) kanonischen Antikommutierungsbeziehungen (im Gegensatz zum bosonischen Fall, in dem diese zu Kommutierungsbeziehungen werden):

$$\{\psi_a(\vec{x}),\psi^\dagger_b(\vec{y}) \}\big|_{t_x=t_y} = \delta(\vec{x}-\vec{y})$$ die die korrekten Vertauschungsbeziehungen auf den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren induzieren $a,a^\dagger$der üblichen Moduszerlegung.

Der Unterschied zwischen beiden Ansätzen besteht also letztendlich darin, was das grundlegende Untersuchungsobjekt unter jeder Beschreibung ist. In der Quantenmechanik beschreiben Wellenfunktionen ein einzelnes Teilchen, in der Quantenfeldtheorie beschreiben Felder die kollektiven Wechselwirkungen von Teilchen.

Darüber hinaus muss man in der Quantenfeldtheorie neben anderen möglichen Symmetrien einer Theorie auch die Lorentz-Symmetrie berücksichtigen. Also muss jedes interessante Objekt ein Lorentz- invariantes Objekt sein. Zusätzlich schreibt man auch die Lokalität vor, so dass für Operatoren innerhalb der Lagrange-Funktion Ihrer Theorie die Anforderung besteht, von einem einzigen Raum-Zeit-Punkt abhängig zu sein.

Man könnte eine Zweipunktfunktion oder Korrelationsfunktion in Betracht ziehen, diese ist tatsächlich von Interesse innerhalb der QFT:

$$\langle \psi^\dagger(x) \psi(y) \rangle$$ Das ist nur der Verbreiter des Feldes $\psi$in einer freien Theorie und sagt Ihnen, wie sich das Feld zwischen den Raum-Zeit-Punkten entwickelt $x$Und $y$in Abwesenheit von Wechselwirkungen.