Falsche Vorzeichen-Antikommutierungsrelation für das Dirac-Feld?

Question

Falsche Vorzeichen-Antikommutierungsrelation für das Dirac-Feld?

Physik
Fermionen
Antikommutator
Dirac-Gleichung
Grasmann-Nummern
Hamiltonscher Formalismus

Johannes Fredsted

Betrachten Sie die Dirac-Lagrange-Funktion

L = ψ^{†} γ^{0} (ich γ^{ρ} \partial_{ρ} - M) ψ .

$\mathcal{L}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\left( \mathrm{i}\gamma ^{\rho }\partial _{\rho }-m\right) \psi .$ Die konjugierten Impulse zu

ψ^{a}

$\psi ^{a}$ werden wie üblich durch definiert

π_{A} = \partial L / \partial {\dot{ψ}}^{A} .

$\pi _{a}=\partial \mathcal{% L}/\partial \dot{\psi}^{a}.$ Alle Referenzen, die ich konsultiert habe, behaupten, dass dies dies impliziert

π_{a} = i ψ_{a}^{†}

$\pi _{a}=\mathrm{i}\psi _{a}^{\dagger }$ , was ziemlich offensichtlich erscheint. Aber warum nicht

π_{A} = - ich ψ_{A}^{†}

$\pi _{a}=-\mathrm{i}\psi _{a}^{\dagger }$ im Hinblick auf die Fermion-Antikommutierung das Minuszeichen, das sich aus dem Passieren ergibt

\partial / \partial {\dot{ψ}}^{a}

$% \partial /\partial \dot{\psi}^{a}$ durch

ψ^{†}

$\psi ^{\dagger }$ ? Die Verwendung eines solchen Minuszeichens führt aber natürlich zu einem unsinnigen Minuszeichen in der Antikommutierungsrelation,

{ψ^{A} (X), ψ_{B}^{†} (j)} = - δ_{B}^{A} δ^{(3)} (X - j) .

$\left\{ \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) ,\psi _{b}^{\dagger }\left( \mathbf{y}\right) \right\} ~=~-\delta _{b}^{a}\delta ^{\left( 3\right) }\left( \mathbf{x}-\mathbf{y}\right) .$ Was vermisse ich?

Update: Definieren Sie nach dem Hinweis 'Dirac Brackets' von Steven Avery die folgende Poisson-Klammer (beachten Sie die genaue Reihenfolge von $\pi _{a}$ Und $\psi ^{a}$ ):

{F, G}_{PB} = \int D^{3} X [- \frac{δ F}{δ π_{A} (X)} \frac{δ G}{δ ψ^{A} (X)} + {(- 1)}^{ε_{F} ε_{G}} \frac{δ G}{δ π_{A} (X)} \frac{δ F}{δ ψ^{A} (X)}],

$\left\{ f,g\right\} _{\text{P.B.}}=\int d^{3}x\left[ -\frac{\delta f}{\delta \pi _{a}\left( \mathbf{x}\right) }\frac{\delta g}{\delta \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) }+\left( -1\right) ^{\varepsilon _{f}\varepsilon _{g}}% \frac{\delta g}{\delta \pi _{a}\left( \mathbf{x}\right) }\frac{\delta f}{% \delta \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) }\right] ,$ Wo

ε_{f}

$\varepsilon _{f}$ Und

ε_{g}

$\varepsilon _{g}$ sind die Grassmann-Paritäten von

f

$f$ Und

g

$g$ , bzw. Für Grassmann sogar

f

$f$ Und

g

$g$ , reduziert sich diese Klammer korrekt auf die übliche Poisson-Klammer. Für den 'klassischen' Dirac-Lagrangian, formuliert im Sinne von Grassmann-ungerade

ψ^{a}

$\psi^{a}$ Und

π_{a}

$\pi_{a}$ , es wird

\begin{array}{rcl} {ψ^{A} (X), π_{B} (j)}_{PB} & = & - \int D^{3} z [\frac{δ ψ^{A} (X)}{δ π_{C} (z)} \frac{δ π_{B} (j)}{δ ψ^{C} (z)} + \frac{δ π_{B} (j)}{δ π_{C} (z)} \frac{δ ψ^{A} (X)}{δ ψ^{C} (z)}] \\ = & - \int D^{3} z [0 + δ_{B}^{C} δ^{(3)} (j - z) δ_{C}^{A} δ^{(3)} (X - z)] \\ = & - δ_{B}^{A} δ^{(3)} (X - j) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \left\{ \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) ,\pi _{b}\left( \mathbf{y}\right) \right\} _{\text{P.B.}} &=&-\int d^{3}z\left[ \frac{\delta \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) }{\delta \pi _{c}\left( \mathbf{z}\right) }\frac{\delta \pi _{b}\left( \mathbf{y}\right) }{\delta \psi ^{c}\left( \mathbf{z}\right) } +\frac{\delta \pi _{b}\left( \mathbf{y}\right) }{\delta \pi _{c}\left( \mathbf{z}\right) }\frac{\delta \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) }{\delta \psi ^{c}\left( \mathbf{z}\right) }\right] \\ &=&-\int d^{3}z\left[ 0+\delta _{b}^{c}\delta ^{\left( 3\right) }\left( \mathbf{y}-\mathbf{z}\right) \delta _{c}^{a}\delta ^{\left( 3\right) }\left( \mathbf{x}-\mathbf{z}\right) \right] \\ &=&-\delta _{b}^{a}\delta ^{\left( 3\right) }\left( \mathbf{x}-\mathbf{y} \right) . \end{eqnarray*}$ Wenn

π_{a} = - i ψ_{a}^{†}

$\pi _{a}=-\mathrm{i}\psi _{a}^{\dagger }$ , dann Minuszeichen beachten

{ψ^{A} (X), ψ_{B}^{†} (j)}_{PB} = - ich δ_{B}^{A} δ^{(3)} (X - j),

$\left\{ \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) ,\psi_{b}^{\dagger}\left( \mathbf{y}\right) \right\} _{\text{P.B.}}=-\mathrm{i}\delta _{b}^{a}\delta ^{\left( 3\right) }\left( \mathbf{x}-\mathbf{y}\right) ,$ die mit der Quantenklammer =

i \times

$\mathrm{i} \times$ Die Poisson-Klammer-Regel liefert die korrekte Quanten-Antikommutierungsbeziehung:

{ψ^{A} (X), ψ_{B}^{†} (j)} = δ_{B}^{A} δ^{(3)} (X - j) .

$\left\{ \psi ^{a}\left( \mathbf{x}\right) ,\psi_{b}^{\dagger}\left( \mathbf{y}\right) \right\} =\delta _{b}^{a}\delta ^{\left( 3\right) }\left( \mathbf{x}-\mathbf{% y}\right) .$

ACuriousMind

Was meinst du mit "warum nicht" - was ist das eigentliche Ergebnis der Berechnung

\partial L / \partial \dot{ψ}

$\partial\mathcal{L}/\partial \dot{\psi}$ ?

Johannes Fredsted

Das "warum nicht" ist rhetorisch gemeint, da ich denke, dass ein Minuszeichen kommen sollte, wenn ich die Variationsableitung von links nach rechts durchführe, während ich schreibe.

Antworten (1)

Falsche Vorzeichen-Antikommutierungsrelation für das Dirac-Feld?

Was meinst du mit "warum nicht" - was ist das eigentliche Ergebnis der Berechnung $\partial\mathcal{L}/\partial \dot{\psi}$ ?
Das "warum nicht" ist rhetorisch gemeint, da ich denke, dass ein Minuszeichen kommen sollte, wenn ich die Variationsableitung von links nach rechts durchführe, während ich schreibe.

QMechaniker · Answer 1

OP fragt nach der Legendre-Transformation von der Lagrange- zur Hamilton-Formulierung von Fermionen. Diese Frage wurde bereits gestellt und beantwortet, zB in this , this und this Phys.SE posts.

Lassen Sie uns hier nur einige subtile Punkte dieser wichtigen und interessanten Berechnung auflisten:

Lassen Sie allgemeiner $\phi^{\alpha}$ bezeichnen ein Feld mit Grassmann-Parität $\varepsilon_{\alpha}$ . Sollten wir bei der Definition des Grassmann-ungeraden kanonischen Impulses Ableitungen verwenden?
$\begin{matrix} (1) & π_{a}^{R} := \frac{\partial_{R} L}{\partial {\dot{ϕ}}^{a}} = (- 1)^{ε_{a}} \frac{\partial_{L} L}{\partial {\dot{ϕ}}^{a}} =: (- 1)^{ε_{a}} π_{a}^{L} \end{matrix}$ $\pi^R_{\alpha}~:=~\frac{\partial_R {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^{\alpha}}~=~(-1)^{\varepsilon_{\alpha}}\frac{\partial_L {\cal L}}{\partial \dot{\phi}^{\alpha}}~=:~(-1)^{\varepsilon_{\alpha}}\pi^L_{\alpha}\tag{1}$ die von rechts oder von links handeln? Kurze Antwort: Es sollte mit der Wahl des kinetischen Begriffs korrelieren $\begin{matrix} (2) & L_{H} = π_{a}^{R} {\dot{ϕ}}^{a} - H = {\dot{ϕ}}^{a} π_{a}^{L} - H \end{matrix}$ ${\cal L}_H~=~\pi^R_{\alpha}\dot{\phi}^{\alpha}-{\cal H}~=~\dot{\phi}^{\alpha}\pi^L_{\alpha}-{\cal H}\tag{2}$ in der Hamilton-Lagrange-Dichte ${\cal L}_H$ . Dies scheint die Frage von OP zu Vorzeichenkonventionen zu lösen. $^1$
Achten Sie darauf, eine konsistente Vorzeichenkonvention für die Poisson-Klammer zu verwenden $^2$ (PB)
${F, G}_{P B} = \int D^{3} X (\frac{δ_{R} F}{δ ϕ^{a} (X)} \frac{δ_{L} G}{δ π_{a}^{R} (X)} - \frac{δ_{R} F}{δ π_{a}^{L} (X)} \frac{δ_{L} G}{δ ϕ^{a} (X)})$ $\{F,G\}_{PB}~=~\int d^3x\left( \frac{\delta_R F}{\delta \phi^{\alpha}({\bf x})} \frac{\delta_L G}{\delta \pi^R_{\alpha}({\bf x})}-\frac{\delta_R F}{\delta \pi^L_{\alpha}({\bf x})} \frac{\delta_L G}{\delta \phi^{\alpha}({\bf x})}\right)$
$\begin{matrix} (3) & = - (- 1)^{ε_{F} ε_{G}} {G, F}_{P B} . \end{matrix}$ $~=~-(-1)^{\varepsilon_F\varepsilon_G}\{G,F\}_{PB}. \tag{3}$ Die grundlegenden PBs lesen $\begin{matrix} (4) & {ϕ^{a} (X), π_{β}^{R} (X^{'})}_{P B} = δ_{β}^{a} δ^{3} (X - X^{'}) = - {π_{β}^{L} (X), ϕ^{a} (X^{'})}_{P B}, \end{matrix}$ $\{\phi^{\alpha}({\bf x}), \pi^R_{\beta}({\bf x}^{\prime})\}_{PB} ~=~\delta^{\alpha}_{\beta}~\delta^3({\bf x}-{\bf x}^{\prime}) ~=~-\{\pi^L_{\beta}({\bf x}),\phi^{\alpha}({\bf x}^{\prime})\}_{PB} ,\tag{4}$ und der Rest ist Null. Beachten Sie, dass der obige PB (3) mit superkanonischen Transformationen übereinstimmt und Super-Schiefe/Antisymmetrie erfüllt, eine Super-Jacobi-Identität $\begin{matrix} (5) & \sum_{Zyklus F, G, H} (- 1)^{ε_{F} ε_{H}} {{F, G}_{P B}, H}_{P B} = 0, \end{matrix}$ $\sum_{\text{cycl. }F,G,H} (-1)^{\varepsilon_F\varepsilon_H}\{\{F,G\}_{PB},H\}_{PB}~=~0, \tag{5}$ und eine Super-Leibniz-Regel . So auch der Superkommutator $\begin{matrix} (6) & [\hat{F}, \hat{G}} := \hat{F} \hat{G} - (- 1)^{ε_{F} ε_{G}} \hat{G} \hat{F} ⟷ ich ℏ {F, G}_{P B} + Ö (ℏ^{2}), \end{matrix}$ $[\hat{F}, \hat{G}\} ~:=~\hat{F}\hat{G}-(-1)^{\varepsilon_F\varepsilon_G}\hat{G}\hat{F} ~\longleftrightarrow~i\hbar\{F,G\}_{PB} +{\cal O}(\hbar^2) ,\tag{6}$ was mit dem Korrespondenzprinzip vereinbar ist.
Achten Sie im fermionischen Fall darauf, den klassischen PB nicht zu verwechseln $\{\cdot,\cdot\}_{PB}$ und der Quanten-Antikommutator $\{\cdot,\cdot\}_+$ .
Um auf das Beispiel von OP zurückzukommen, können wir behandeln $\psi$ Und $\psi^{\dagger}$ als unabhängige Variablen? Wenn ja, ist das Momentum für $\psi^{\dagger}$ null?
Ist die Legendre-Transformation einzigartig? Gibt es Einschränkungen?

Die Antworten zu den letzten Punkten 4 und 5 finden Sie in den verlinkten Phys.SE-Beiträgen.

--

$^1$ Herkömmlich verwendet man $\pi^R_{\alpha}$ statt $\pi^L_{\alpha}$ , vgl. zB ein Kommentar zwischen Gl. (44.6) und (44.7) in Srednickis QFT-Buch. Eine PDF-Datei mit einem Vorveröffentlichungsentwurf ist hier verfügbar .

$^2$ Hier ignorieren wir eine Diskussion über die Existenz funktionaler Ableitungen, die auf einer konsistenten Wahl von Randbedingungen beruhen, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Heute früh habe ich Ihre Antwort angekreuzt. Aber später, nachdem ich das Material von Steven Avery entdeckt hatte, vergleiche mein Update oben, hatte ich Bedenken. Mir scheint, dass ein Handeln von rechts, wie Sie es vorschlagen, nicht notwendig ist, zumindest nicht auf der „klassischen“ Ebene. Aber vielleicht bringe ich nur Poisson-Klammer und Quanten-Klammer durcheinander, oder was äquivalent zu sein scheint, den „klassischen“ Formalismus und den Quanten-Formalismus. Aber mein Punkt ist, denke ich, dass ich möchte, dass die übliche 'Quantenklammer = i mal Poisson-Klammer'-Regel auch im fermionischen/Grassmann-ungeraden Fall anwendbar ist.
Vielen Dank. Gl. (3) ist für mich besonders interessant. Ich werde mich in den nächsten Tagen genauer mit den Details befassen. Ich hätte Ihnen gerne einen Vote-Up-Punkt gegeben, aber mein niedriger Reputationswert erlaubt mir dies derzeit nicht.

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