Sollte das komplexe Konjugat einer Ableitung einer Grassmann-Zahl ein Vorzeichen enthalten?

Nehmen Sie eine echte Grassmann-Variable, womit ich meine θ = θ ∗ . Wir haben

∫ D θ   θ = 1 , ∂ ∂ θ θ = 1

Wenn ich die Konjugation von Grassmann-Variablen definiere, um ihre Reihenfolge umzukehren,

( η θ ) ∗ = θ ∗ η ∗ ,
sollte ich dann haben
( D θ θ ) ∗ = θ ∗ D θ ∗   ?
Aber das bedeutet

( ∫ D θ   θ ) ∗ = 1 ⇒ ∫ θ ∗ D θ ∗ = − ∫ D θ ∗   θ ∗ = 1 ,

also wenn θ = θ ∗ , Ich sollte

D θ ∗ = − D θ .
Dasselbe gilt für die Ableitung von θ .

Ist dies die übliche Konvention oder sollte ich mich stattdessen entscheiden?

( D θ θ ) ∗ = D θ ∗ θ ∗   ?

Antworten (1)

Ja. OP hat Recht. Es gibt ein Minus. Da gehorcht per Konvention die komplexe Konjugation

(1) ( z w ) ∗   =   w ∗ z ∗   =   ( − 1 ) | z |   | w | z ∗ w ∗

für zwei beliebige Superzahlen z , w (von bestimmten Grassmann-Paritäten | z | , | w | ), sollten wir auch haben

(2) ( A F ) ∗   =   ( − 1 ) | A |   | F | A ∗ F ∗

zur komplexen Konjugation eines Operators A und eine Funktion F , vgl. zB Ref.-Nr. 1 & 2. Gl. (2) reduziert sich auf Gl. (1) wenn A ist ein linker Multiplikationsoperator . Es ist leicht zu überprüfen, dass Gl. (2) impliziert das 1

(3) ( ∂ L ∂ z ) ∗   = ( 2 )   ( − 1 ) | z | ∂ L ∂ ( z ∗ ) .

Seit Berezin ist Integration dasselbe wie linke Differenzierung

(4) ∫ D θ   =   ∂ L ∂ θ , ∫ D θ ∗   =   ∂ L ∂ ( θ ∗ ) ,

wir leiten ab, dass die komplexe Konjugation der Grassmann-ungerade Differenzierung ein Minus erzeugt

(5) ( ∫ D θ ) ∗   = ( 4 )   ( ∂ L ∂ θ ) ∗   = ( 3 )   − ∂ L ∂ ( θ ∗ )   = ( 4 ) − ∫ D θ ∗ .

Verweise:

  1. B. DeWitt, Supermannigfaltigkeiten, Cambridge Univ. Presse, 1992; Gl. (2.2.19).

  2. SJ Gates, MT Grisaru, M. Rocek & W. Siegel, Superspace oder Tausend und eine Lektion in Supersymmetrie, arXiv:hep-th/0108200 ; Gl. (3.1.9).

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1 Der Index L ( R ) bedeutet Links-(Rechts-)Differenzierung, dh von links (rechts) wirkend. Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass Links- und Rechtsdifferenzierung über die Formel verbunden sind

(6) ∂ L F ∂ z   =   ( − 1 ) ( | F | + 1 ) | z | ∂ R F ∂ z ,

so dass die komplexe Konjugation erfüllt

(7) ( ∂ L ∂ z ) ∗ F   = ( 3 ) + ( 6 )   ( − 1 ) | z | | F | ∂ R F ∂ ( z ∗ ) , ( ∂ R ∂ z ) ∗ F   = ( 3 ) + ( 6 )   ( − 1 ) | z | | F | ∂ L F ∂ ( z ∗ ) .

Hinweise für später: ⟨ v , w ⟩   :=   v † w   =   ⟨ w , v ⟩ ∗ ; ⟨ v , A w ⟩   =   ⟨ A † v , w ⟩ ; ( A B ) †   =   B † A † ; A †   =   ( A T ) ∗   =   ( A ∗ ) T ; ( A B ) T   =   ( − 1 ) | A | | B | B T A T ;
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