Produkt komplexer Grassmann-Zahlen in höheren Dimensionen

Wenn zwei Zahlen$\eta$Und$\xi$Anti-Pendeln. dh,

$$\eta\xi=-\xi\eta$$ sie werden Grassmann-Zahlen genannt. Daraus folgt unmittelbar $$\eta^2=\xi^2=0,$$ und Beziehungen wie z $$e^{a\eta}=1+a\eta;~~e^{a\eta\xi}=1+a\eta\xi~~\text{etc}$$ und viele interessante Eigenschaften.

Man spricht oft von komplexen Grassmann-Zahlen$\eta$, in höheren Dimensionen. Beispielsweise definiert man in zwei Dimensionen als$\eta=\begin{pmatrix}\eta_1\\ \eta_2\end{pmatrix}$Und$\xi=\begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\end{pmatrix}$. In diesem Fall kann man Produkte wie definieren$\eta^T\xi$Und$\eta^\dagger\xi$was gibt

$$\eta^T\zeta=\eta_1\xi_1+\eta_2\xi_2;~~\eta^\dagger\zeta=\eta^*_1\xi_1+\eta_2^*\xi_2.$$

Im ersten Fall ist es ganz klar, dass da$\eta_1^2=\eta_2^2=0$, die Beziehung$\eta^T\eta$(manchmal abgekürzt als$\eta\eta$) ergibt Null. Allerdings habe ich Probleme, das Produkt zu bewerten$\eta^\dagger\eta=\eta^*_1\eta_1+\eta_2^*\eta_2$Wo$\eta_{1}$($\eta_2$) Und$\eta_1^*$($\eta_2^*$) werden also als zwei unabhängige Grassmann-Zahlen angenommen

$$\eta_1^*\eta_1=-\eta_1\eta_1^*.$$

Meine Frage ist ob$\eta^\dagger\eta$auf Null reduzieren. So wie ich es gemacht habe, ist es nicht. Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich einen Fehler mache. Bitte helfen Sie mir dabei.