Supersymmetrietransformationen als Koordinatentransformationen

Üblicherweise wird eine Supersymmetrietransformation an bosonischen und fermionischen Feldern durchgeführt, die Funktionen der Koordinaten sind (oder an einem Superfeld, das eine Funktion von reellen und fermionischen Koordinaten ist). Aber ist es möglich, Supersymmetrietransformationen als Koordinatentransformationen auf dem Satz von Koordinaten zu interpretieren? ( X 0 , … , X N , θ 1 , … , θ M ) ?

Das Problem, das ich sehe, ist, dass die Koordinaten so etwas transformieren würden X μ → X μ + θ σ θ ¯ die keine reelle (oder komplexe) Zahl mehr ist, sondern eine pendelnde Grassmann-Zahl. Kann man sich vorstellen, dass eine Koordinatenposition keine reelle Zahl mehr ist?

Bearbeiten: Zur Verdeutlichung geht es hier NICHT um Verwirrung darüber, was passiert, wenn reelle Zahlen mit pendelnden Grasmann-Zahlen im Allgemeinen addiert werden. Dass der Lagrangian in QFT zum Beispiel keine reelle Zahl ist, sondern eine pendelnde Grasmannzahl, ist in Ordnung. Was mich verwirrt, ist wirklich, wie man Grasmannsche Koordinaten versteht . Koordinaten sollen eine Position in der Raumzeit/auf einer Mannigfaltigkeit beschreiben, und es scheint mir wesentlich zu sein, dass eine Position eine normale reelle Zahl ist.

Was für ein mathematisches Objekt ist die Summe einer reellen/komplexen Zahl und einer Grasmann-Zahl? Es ist offensichtlich unter Summe abgeschlossen und anscheinend unter Multiplikation, aber wahrscheinlich kein vollwertiger Körper, da keine Umkehrung
Im Wesentlichen ein Duplikat dieses Phys.SE-Beitrags.
@Qmechanic: Nein, es ist kein Duplikat davon (aber es ist im Wesentlichen dasselbe wie der unbeantwortete Kommentar in der ersten Antwort). Ich habe meinen Beitrag zur Verdeutlichung editiert!

Antworten (1)

Kommentare zur Frage (v3):

  1. Denken Sie daran, dass eine Superzahl z = z B + z S besteht aus einem Körper z B (was immer dazugehört C ) und eine Seele z S (der nur gehört C wenn es Null ist), vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

  2. Eine beobachtbare/messbare Größe kann nur aus gewöhnlichen Zahlen bestehen (Zugehörigkeit zu C ). Es macht keinen Sinn, einen seelisch wertvollen Output in einem tatsächlichen Experiment zu messen.

  3. Seelen sind Unbestimmte , die in Zwischenformeln erscheinen, aber im Endergebnis integriert (oder differenziert) werden.

  4. In einer Superraum-Formulierung einer Feldtheorie ist eine Grasmann-gerade Raum-Zeit-Koordinaten X μ im Superspace wird zu einer Superzahl befördert und ist nicht unbedingt eine gewöhnliche Zahl.

  5. Eine Supersymmetrie-Translation einer Grasmann-geraden Raumzeitkoordinate X μ ändert sich nur die Seele (aber nicht der Körper). X μ .

  6. Beachten Sie, dass bei der mathematischen Definition einer Supermannigfaltigkeit der Schwerpunkt der Theorie nicht auf Raumzeitkoordinaten an sich liegt, sondern (ganz grob gesagt) eher auf bestimmten Algebren von Funktionen der Raumzeit. Siehe auch z. B. Refs. 1-3 für Einzelheiten.

Verweise:

  1. Pierre Deligne und John W. Morgan, Notes on Supersymmetry (nach Joseph Bernstein). In Quantenfeldern und Strings: Ein Kurs für Mathematiker, Vol. 1, American Mathematical Society (1999) 41–97.

  2. VS Varadarajan, Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction, Courant Lecture Notes 11, 2004.

  3. C. Sachse, Eine kategoriale Formulierung von Superalgebra und Supergeometrie, arXiv:0802.4067 .

Supersymmetrietransformationen als Koordinatentransformationen
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