Hilfs-Grassmann-Variablen in der Supergeometrie

Ich habe über Supergeometrie gelesen und wie sie zur Modellierung von Fermionen und Supersymmetrie in der klassischen Feldtheorie verwendet wird.

In Texten wie [1] oder [2] führten die Autoren zusätzliche ungerade Grassmann-Variablen ein, um Antipendelfelder zu erhalten.

Nehmen Sie zum Beispiel ein Superfeld

$$\phi : \mathbb{R}^{m|1} \rightarrow \mathbb{R}^{n|0}$$ Abbildung einer Super-Raumzeit auf einen Konfigurationsraum. Es kann geschrieben werden als $$\phi = x + \theta \, \psi$$ Wo$x$sollte ein bosonisches Feld sein,$\psi$eine fermionische und$\theta$ist die ungerade Koordinate an$\mathbb{R}^{m|1}$.

In [1] wird argumentiert, dass in dieser Formulierung$\psi$ist keine antipendelnde (ungerade) Größe. Um dies zu beheben, müssen wir tatsächlich nehmen$\phi$als Karte

$$\phi : \mathbb{R}^{m|1} \times \mathbb{R}^{0|L}\rightarrow \mathbb{R}^{n|0} \;.$$ Wir bezeichnen mit$\eta$die ungeraden Koordinaten von$\mathbb{R}^{0|L}$und sie dienen als zusätzliche Grassmann-Variablen.$x$ist jetzt sogar in denen und$\psi$seltsam. Deshalb$\psi$ist jetzt in der Tat ein Anti-Pendel-Feld.

Ich habe zwei Fragen zu diesen Hilfsvariablen$\eta$:

1. Haben sie eine „intuitive“ oder geometrische Interpretation oder sind sie nur Formalismus, der uns am Ende Anti-Pendel-Felder liefert?

2. Wie werden wir sie bei der Berechnung von Observablen los? Ich weiß, dass wir Berezin über die Super-Raumzeit-Koordinaten integrieren$\theta$zum Beispiel bei der Berechnung der Aktion. Machen wir dasselbe für die$\eta$?

---

[1] Hélein, Frédéric. „ Eine Einführung in Supermannigfaltigkeiten und Supersymmetrie “, p. 15. (Er führt den Begriff „Supermannigfaltigkeit mit Fleisch“ für das Hinzufügen von Hilfsvariablen ein)

[2] Ende von Abschnitt 3 von nlab über Supergeometry . (Hier dient das Dirac-Feld als Beispiel)