Ableitung der Fermion-Antikommutierungsregel

Grundsätzlich müssen Sie den Heisenberg-Lagrange-Hamilton-Ansatz verwenden ... beginnend mit dem Feld-Lagrange, der zur Dirac-Wellengleichung führt. dann müssen Sie das Feld quantisieren, indem Sie eine Modenerweiterung verwenden, bei der das fermionische Feld in Form der freien Lösungen der Dirac-Gleichung ausgedrückt wird, die, wie Sie wissen, Spinorlösungen sind. Zum Beispiel die Erweiterung für ein Spin-${1}/{2}$Fermionenfeld ist:

$\hat{\Psi} = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega}} \sum_{s=1,2} [\hat{c}_s(k)u(k,s)\exp{(+ik.x)}+\hat{d}^{\dagger}_s(k)v(k,s)\exp{(-ik.x)}]$

Betrachten Sie nun einen Zustand mit zwei Fermionen, die durch erzeugt werden$\hat{c}^{\dagger}_{s_1}(k_1)\hat{c}^{\dagger}_{s_2}(k_2)$aus dem Vakuum. Wenn Sie sich vorstellen, dass einer dieser Doppelzustände aus genau zwei gleichen Fermionen besteht, dann muss dieser Zustand unter den Austauschvorgängen antisymmetrisch sein$k_1 \leftrightarrow k_2$Und$s_1 \leftrightarrow s_2$. Nun, wenn die Betreiber$\hat{c}^{\dagger}_{s_1}(k_1)$Und$\hat{c}^{\dagger}_{s_2}(k_2)$antipendeln, dann wären die resultierenden Dubletts antisymmetrisch. Viele Lehrbücher haben solche Beweise, zum Beispiel ist der Beweis hier von Aitchison und Hey's "Gauge Theories in Particle Physics Vol.1". Hier wurde in der Erweiterung nur eine einfache Korrektur vorgenommen.

Bezüglich der fundamentalen Antikommutierungsrelation müssen wir dasselbe wie hier postulieren. Eine lohnende Übung wäre es, den Hamiltonoperator dieses Feldes zu berechnen.