Intuition hinter Paulis Prinzip

Wie in @kalles Kommentar erwähnt, ist das Pauli-Ausschlussprinzip eine Folge der allgemeinen Prinzipien der relativistischen Quantenfeldtheorie (QFT). Es ist Teil des Satzes der Spin-Statistik , der besagt:

• Teilchen mit halbzahligem Spin (wie Protonen, Neutronen und Elektronen) müssen Fermionen sein (dh müssen dem Pauli-Ausschlussprinzip gehorchen)

• Teilchen mit ganzzahligem Spin (wie Photonen) müssen Bosonen sein .

"Spin" bezieht sich auf den intrinsischen Drehimpuls des Teilchens, ausgedrückt in Einheiten der Planckschen Konstante$\hbar$. Protonen, Neutronen und Elektronen haben einen Spin$1/2$, was bedeutet, dass sie einen Eigendrehimpuls gleich haben$\hbar/2$.

Eigentlich habe ich etwas vereinfacht. QFT ist in Form von Feldern formuliert, nicht von Partikeln. Partikel sind Phänomene, die QFT vorhersagt. Was das Spin-Statistik-Theorem tatsächlich besagt, ist, dass halbzahlige Spinfelder Fermionenfelder und ganzzahlige Spinfelder Bosonenfelder sein müssen. Partikel sind Manifestationen von Feldern (mit vielen Vorbehalten), aber um diese Antwort kurz zu halten, bleibe ich bei der ursprünglichen Vereinfachung und drücke die Dinge in Form von Partikeln anstelle von Feldern aus.

Zu sagen, dass ein Teilchen ein Fermion ist, bedeutet per Definition , dass die Wellenfunktion von$N$dieser Teilchen ist bezüglich ihrer Permutationen antisymmetrisch. Dies ist kein Theorem oder etwas, das erklärt werden muss; es ist einfach eine Definition . Das zu erklärende Theorem ist, dass Spin-$1/2$Teilchen (wie Elektronen) sind notwendigerweise Fermionen – was eine andere Art zu sagen ist, dass Spin-$1/2$Partikel gehorchen notwendigerweise dem Pauli-Ausschlussprinzip.

(In ähnlicher Weise bedeutet die Aussage, dass ein Teilchen ein Boson ist, dass die Wellenfunktion von$N$dieser Teilchen ist bezüglich ihrer Permutationen symmetrisch. Auch dies ist nur eine Definition; Die Sache, die durch den Satz erklärt wird, ist, dass Teilchen mit ganzzahligem Spin, wie Photonen, Bosonen sein müssen.)

Das Spin-Statistik-Theorem ist eine Folge einiger allgemeiner Prinzipien der relativistischen QFT. Eines der Schlüsselprinzipien ist, dass die Gesamtenergie des Systems nicht kleiner als eine endliche untere Grenze sein kann (üblicherweise als Null angenommen). Der Zustand mit der niedrigsten Energie ist per Definition der Vakuumzustand , der den leeren Raum darstellt. Selbst im einfachsten möglichen Modell, das nur einen einzigen relativistischen Spin enthält,$1/2$Feld führt die Einführung dieses scheinbar harmlosen Prinzips zu der Schlussfolgerung, dass das Feld ein Fermion sein muss – mit anderen Worten, dass die zugehörigen Teilchen dem Pauli-Ausschlussprinzip gehorchen müssen.

Der Hauptunterschied zwischen halbzahligem Spin und ganzzahligem Spin besteht darin, dass der kinetische Term im Hamilton-Operator (Energieoperator) für ein Feld mit halbzahligem Spin eine ungerade Anzahl von Ableitungen hat, während der kinetische Term für ein Feld mit ganzzahligem Spin eine hat gerade Anzahl von Ableitungen. Dies hängt damit zusammen, warum die Wellenfunktion im ersten Fall antisymmetrisch und im zweiten Fall symmetrisch sein muss.

Wichtig ist, dass das Spin-Statistik-Theorem auf relativistischer QFT beruht, was bedeutet, dass es auf Lorentz-Symmetrie, der Symmetrie der flachen Raumzeit, beruht. (Die Verallgemeinerung des Spin-Statistik-Theorems auf die gekrümmte Raumzeit ist ein neuerer Versuch; es ist sogar noch kniffliger.) In der nicht-relativistischen Quantenmechanik gibt es kein solches Theorem. In der nicht-relativistischen Quantenmechanik legen wir einfach von Hand fest , dass Spin-$1/2$Teilchen müssen Fermionen sein, weil wir wissen, dass reale Anwendungen der nicht-relativistischen Quantenmechanik wirklich nur Annäherungen an die relativistische QFT sind. Dies ist wichtig, weil es impliziert, dass wir den Grund für das Pauli-Ausschlussprinzip nicht verstehen können, indem wir Intuition verwenden, die auf nicht-relativistischer Quantenphysik basiert. Relativistische QFT ist unerlässlich.

Die Frage fordert Intuition . Ein Theorem in Intuition zu übertragen ist oft schwierig, besonders wenn das Theorem auf dem Rahmen der relativistischen QFT beruht. Im Fall des Spin-Statistik-Theorems habe ich keine intuitive Erklärung, die ich für zufriedenstellend halten würde. Was ich in dieser Antwort versucht habe, ist einfach zwei zusammenhängende Punkte zu vermitteln:

• Das Pauli-Ausschlussprinzip hat einen tieferen Grund . Angesichts der allgemeinen Prinzipien der relativistischen QFT kann bewiesen werden . Das klassische Buch ist PCT, Spin and Statistics, and All That von Streater und Wightman. (Es ist sehr mathematisch.) Dieselben allgemeinen Prinzipien der relativistischen QFT implizieren auch CPT-Symmetrie , was die Existenz von Antiteilchen impliziert. Dasselbe Buch beweist auch diesen Satz. (Sie nannten es PCT. Die meisten von uns nennen es heute CPT. Das Gleiche.) Es gibt einen neueren Beweis, dessen Annahmen noch natürlicher sind (aber der Beweis ist noch technischer).

• Der tiefere Grund beruht auf der relativistischen QFT. Es kann nicht nur mit der nicht-relativistischen Quantenmechanik verstanden werden, wo wir es nur von Hand erzwingen.

Da sollte zumindest ein intuitiver Sinn dahinterstecken?

Für Elektronen in einem Atom ist es unmöglich, für alle vier Quantenzahlen die gleichen Werte zu haben . Im Minimum muss die Spinquantenzahl unterschiedlich sein.

Die Spinquantenzahl ist eine Quantenzahl, die den intrinsischen Drehimpuls (oder Spindrehimpuls oder einfach Spin) eines gegebenen Teilchens parametrisiert. Es wird weniger betont, dass der Spin und das magnetische Dipolmoment der Elektronen verwandte Eigenschaften sind:

Zusätzlich zum Spin hat das Elektron ein intrinsisches magnetisches Moment entlang seiner Spinachse.

Vergessen wir also für einen Moment den Spin. Stellen Sie sich die beiden Elektronen des Edelgases Helium als zwei Stabmagnete vor. Das niedrigste Energieniveau (die stärkste Verbindung zwischen den Magneten) wird erreicht, wenn die Stabmagnete antiparallel geschaltet werden.

Interessant ist außerdem, dass beim Edelgas Neon die 8 Elektronen der Außenhülle durch 8 Stabmagnete an den Kanten eines Würfels simuliert werden konnten. 4 Magnete sind mit ihrem Nordpol zur Mitte gerichtet, die anderen Magnete sind mit ihrem Südpol zur Mitte gerichtet. Dies ist ein stabiles Konstrukt und das einzige neben dem Beispiel der beiden Stabmagnete. Weniger stabil ist ein Konstrukt mit zusätzlichen 8 Stabmagneten, die oben mit jedem der vorherigen 8 Magnete verbunden sind (verbunden mit Argon).

LEGO zu spielen ist manchmal erstaunlich. In allen anderen Fällen folgen Sie bitte nicht zu viel Intuition.