Bedeutung der Indizes L,RL,RL,R für die zweikomponentigen Weyl-Spinoren ϕL,RϕL,R\phi_{L,R}

Für einen Dirac-Spinor ψ , seine chiralen Projektionen sind ψ L , R sind definiert als

(1) ψ R , L = 1 2 ( 1 ∓ γ 5 ) ψ .
Handeln mit dem Chiralitätsoperator γ 5 , wir finden
(2) γ 5 ψ L = − ψ L ,     γ 5 ψ R = + ψ R .
Deshalb ψ L Und ψ R sind jeweils als linkshändige und rechtshändige chirale Projektionen von bekannt ψ . Das ist zu betonen ψ L Und ψ R sind keine 2-Komponenten-Spinoren; ψ L ( ψ R ) sind immer noch 4-Komponenten-Spinoren mit den unteren (oberen) zwei Einträgen, die Null sind, und den oberen (unteren) zwei Einträgen, die nicht Null sind. Lassen
(3) ψ L = ( χ 0 ) ,     ψ R = ( 0 ζ ) ,
Wo χ Und ζ sind Zweikomponenten-Spinoren, Weyl-Spinoren genannt. Aber manchmal verwenden die Leute eine verwirrende Notation, ϕ L für χ Und ϕ R für ζ dh,
(4) ψ L = ( ϕ L 0 ) ,     ψ R = ( 0 ϕ R ) .
Siehe zum Beispiel Gl. (8.71) hier .

Da die Chiralitätsprojektionsoperatoren 1 2 ( 1 ∓ γ 5 ) Sind 4 × 4 Matrizen, auf die sie nur einwirken können ψ heraus zu projizieren ψ L Und ψ R . Allerdings die Notation ϕ L Und ϕ R , für die 2-Komponenten-Spinoren χ Und ζ legt nahe, dass es auch einen Begriff von gibt 2 × 2 Chiralitätsoperator. Wenn es keinen solchen Operator gibt, was bedeutet ϕ L Und ϕ R ?

Ich bin mir nicht sicher, was Sie fragen. Sie wissen, dass es zwei Arten von Weyl-Spinoren gibt? Was du nennst χ Und ζ sind zwei verschiedene Objekte, da sie sich unter Lorentz unterschiedlich transformieren
@FrodCube Ich sage das manchmal die Notation ϕ L wird verwendet für χ Und ϕ R wird verwendet für ζ beides sind 2-Komponenten-Objekte. Siehe die von mir zitierte Referenz. Aber die Notation L , R ist nur sinnvoll für ψ L Und ψ L das sind 4-Komponenten-Objekte. Chirale Projektionen können nur von einem 4-Komponenten-Objekt genommen werden, da der Chiralitätsprojektionsoperator a ist 4 × 4 Matrix. Beachten Sie, dass ψ L , R sind definiert von ψ in 1). Aber man kann es nicht definieren ϕ L , R in analoger Weise.
Das ist der Punkt. Es stimmt nicht, dass "links" und "rechts" nur auf 4-Spinoren definiert sind. Es gibt zwei unterschiedliche Arten von Weyl-Spinoren mit zwei unterschiedlichen Chiralitäten.
@FrodCube Wie definieren Sie Chiralität für 2-Komponenten-Spinoren? Was ist der 2 × 2 Chiralitätsoperator? Sie können nur Helizitätsoperatoren definieren σ ⋅ P , und zeige das ϕ L Und ϕ R sind Helizitätseigenzustände mit Eigenwerten ∓ 1.
In der Weyl-Basis sind die chiralen Projektoren spärliche Blockmatrizen, sodass sich die chiralen Projektionen in die Blöcke 1-2 bzw. 3-4 aufteilen.

Antworten (1)

Es ist wichtig, zwischen der Clifford-Algebra selbst und einer Matrixdarstellung der Clifford-Algebra zu unterscheiden . Die Clifford-Algebra selbst ist eine abstrakte assoziative Algebra, die durch Basisvektoren erzeugt wird e 0 , e 1 , e 2 , e 3 befriedigend e A e B + e B e A = 2 η A B . Die Dirac-Matrizen liefern eine Matrixdarstellung der Clifford-Algebra, γ : e A ↦ γ A , was in dem Sinne treu ist, dass unterschiedliche Elemente der Clifford-Algebra durch unterschiedliche Matrizen dargestellt werden. In der vierdimensionalen Raumzeit haben die kleinsten Matrizen, die dieses Kunststück erreichen können, eine Größe 4 × 4 .

Ein Dirac-Spinor ist ein Ding, auf das diese getreue Matrixdarstellung der gesamten Clifford-Algebra einwirkt.

Der gerade Teil der Clifford-Algebra wird durch Produkte erzeugt e A e B . Sie ist eine echte Unteralgebra der vollständigen Clifford-Algebra. Bei Beschränkung auf diese Subalgebra ist die Dirac-Matrixdarstellung reduzierbar: unter Verwendung der Projektionsmatrizen ( 1 ± γ 5 ) / 2 , können wir einen Dirac-Spinor teilen ψ in zwei Teile ψ L / R die sich unter der Wirkung des geraden Teils dieser Darstellung der Clifford-Algebra nicht miteinander vermischen.

Ohne sich überhaupt auf Dirac-Spinoren zu beziehen, können Weyl-Spinoren (auch bekannt als chirale Spinoren) direkt als Dinge definiert werden, die sich gemäß einer irreduziblen Darstellung des geraden Teils der Clifford-Algebra transformieren. Es gibt zwei unäquivalente (zueinander konjugierte) Darstellungen des geraden Teils, die oft durch die Indizes voneinander unterschieden werden L / R , unabhängig davon, ob sie durch Anwendung konstruiert wurden oder nicht ( 1 ± γ 5 ) / 2 zu einem Dirac-Spinor.

Wenn Weyl-Spinoren direkt so definiert werden, ist der Chiralitätsoperator immer noch definiert: Er ist immer noch (proportional zu) der Matrixdarstellung von e 0 e 1 e 2 e 3 . Eine irreduzible Darstellung des geraden Teils der Clifford-Algebra ist jedoch nicht treu : die Matrixdarstellung e 0 e 1 e 2 e 3 ist proportional zur Identitätsmatrix. Die beiden inäquivalenten Darstellungen unterscheiden sich im Vorzeichen der darstellenden Matrix e 0 e 1 e 2 e 3 . Der Chiralitätsoperator ist also immer noch definiert, aber er multipliziert nur den Weyl-Spinor mit + 1 oder − 1 , je nachdem, welche der beiden inäquivalenten Darstellungen verwendet wird.

Bedeutung der Indizes L,RL,RL,R für die zweikomponentigen Weyl-Spinoren ϕL,RϕL,R\phi_{L,R}
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