Weyl-Transformation der Dirac-Gleichung

Ihre zweite Gleichung ist immer noch die Dirac-Gleichung in der chiralen (Weyl) Basis der Gamma-Matrizen, die uniformiert$\gamma^0$mit$\gamma^k$, und ist diagonal in der Chiralität,$\gamma^5$,

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & \mathbb{1} \\ \mathbb{1} & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} -\mathbb{1} & 0 \\ 0 & \mathbb{1} \end{pmatrix},$$ und alles, was Sie tun müssen, ist, die Gamma-Matrizen anzuschließen.

Ich nehme an, Sie wollen dann von der herkömmlichen Dirac-Basis zu dieser Weyl-Basis übergehen,

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} \mathbb{1} & 0 \\ 0 & -\mathbb{1} \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} 0 & \mathbb{1} \\ \mathbb{1} & 0 \end{pmatrix}.$$

Die unitäre Ähnlichkeitstransformation der Dirac-Basis

$$\gamma_W^\mu=U^\dagger \gamma_D^\mu U, \qquad U=(1-\gamma_D^5 \gamma_D^0)/\sqrt{2}= \frac{1}{ \sqrt{2}}\begin{pmatrix}\mathbb{1} &\mathbb{1}\\ -\mathbb{1} & \mathbb{1}\end{pmatrix}$$
macht den Trick, wie entworfen, $$U^\dagger\left(i\gamma_D^\mu\partial_\mu- \frac{mc}{\hbar}\right)U ~ U^\dagger\Psi_D = 0,$$ Bereitstellung der chiral entkoppelten Gleichung in der Weyl-Basis (Ihr 2-2-Vektor), die Sie explizit aufgeschrieben haben.

• Beachten Sie, dass ich mich an die P&S-, WP-, Links-oben-rechts-unten-Konventionen halte. Es ist üblich, 10 Minuten damit zu verschwenden, Texte zu vergleichen, Konventionen zu übersetzen... Ein Teil des Kurses. Tong, Itzykson & Zuber (Anhang A-2) usw. unterscheiden sich.