Die Chiralität der (2+1)D Dirac-Gleichung

Es gibt keine gute Definition von Chiralität in (2+1)D oder einer anderen seltsamen Dimension. Dies liegt daran, dass die$\gamma_5$Matrix kann in einer Clifford-Algebra mit einer ungeraden Anzahl von Generatoren nicht sinnvoll definiert werden.

Versuchen Sie zum Beispiel zu definieren$\gamma_5 = \gamma^0\gamma^1\gamma^2$. Diese pendelt (nicht antipendelt) mit$\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2$und pendelt somit mit der gesamten Clifford-Algebra, einschließlich so etwas wie einem Paritätsoperator. In einer irreduziblen Darstellung wird es nur ein Vielfaches der Identität sein.

Bei (1+1) gibt es kein Problem, Chiralität zu definieren. Eine übliche Darstellung der Clifford-Algebra in Bezug auf die Pauli-Matrizen ist

$$\gamma^0=\sigma_2$$ $$\gamma^1=-i\sigma_1,$$ Dies ist eine schöne Darstellung, weil $\gamma_5 = \gamma^0\gamma^1$diagonal ist und auch die Gammamatrizen vollständig imaginär sind. Es ist also wie sowohl die chirale (Weyl) Darstellung als auch die Majorana-Darstellung.

Die Dirac-Gleichung hat die gleiche Form, nur mit weniger Raumzeitdimensionen.

$$(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi =0.$$ Beschriften Sie die beiden Komponenten des Spinors $\psi = (\psi_L,\psi_R)^T,$dann, wenn Sie die Komponenten der Dirac-Gleichung für einen masselosen Spinor aufschreiben $$\partial_0 \psi_R = -\partial_1 \psi_R$$ $$\partial_0 \psi_L = +\partial_1 \psi_L,$$ was dir sagt $\psi_R$ist eine sich nach rechts bewegende Welle und $\psi_L$ist eine sich nach links bewegende Welle. Aber wenn Sie einen Massenterm beibehalten, werden die beiden Chiralitäten natürlich durcheinander gebracht (genau wie bei 3 + 1).