Lösung der Dirac-Gleichung - Vierkomponenten-Spinoren - links-/rechtshändig im ultrarelativistischen Grenzfall

Ich bin verwirrt über die Lösung der Dirac-Gleichung und wie sie links- / rechtshändigen Weyl-Spinoren entspricht. In Srednicki, Seite 242, heißt es, dass die Annahme der ultrarelativistischen Grenze ( | P ¯ | >> M ), projiziert die Lösungen der Dirac-Gleichung auf rein links- oder rechtshändige Spinoren.

Aus der Dirac-Gleichung:

( P μ γ μ + M ) u S ( P ¯ ) = 0

wir erhalten die Lösungen (der Einfachheit halber setze ich p_x=p_y=0):

u + = ( 1 0 P z E + M 0 ) ,     u − = ( 0 1 0 P z E + M )

Nun, da E = ± P z 2 + M 2 , die Grenze wo P z >> M sollte geben:

u + = ( 1 0 1 0 ) ,     u − = ( 0 1 0 1 )

aber ich verstehe nicht, wie diese beiden Lösungen rein links- oder rechtshändig sind?

In Srednicki zeigte er es durch Einsatz u S ( P ¯ ) u ¯ S ( P ¯ ) → 1 2 ( 1 + S γ 5 ) ( − γ μ P μ ) , aber sollte es nicht möglich sein, dasselbe zu zeigen, indem man direkt von den beiden Lösungen ausgeht?

Antworten (1)

Sie sollten angeben, in welcher Darstellung der Gammamatrizen Sie arbeiten. In Ihrem Fall ist das die Dirac-Darstellung. Beachten Sie auch, dass Ihnen ein Minuszeichen fehlt u − das kommt von P z .

u − = ( 0 1 0 − 1 )

Um zu zeigen, dass sie Rechts- oder Linkshänder sind, beachten Sie, dass sie Eigenvektoren von sind γ 5 Operator, der in der Dirac-Basis so aussieht:

γ 5 = ( 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 )

Dann kannst du das ganz einfach beweisen γ 5 u + = u + Und γ 5 u − = − u − was für die beiden Chiralitäten verantwortlich ist.

Danke, und entschuldigen Sie meine dummen Fragen ..., aber warum bedeutet es, dass es links-/rechtshändig ist, wenn γ 5 u ± = ± u ± hält? Vielleicht ist meine Verwirrung eher, warum brauchen wir eine ultrarelativistische Grenze, um diese Spinoren auf die links- oder rechtshändigen Weyl-Felder zu projizieren? Wenn wir den Projektionsoperator verwenden, z 1 / 2 ( 1 + γ 5 ) , wird es nur das rechtshändige Weyl-Feld geben, egal was wir projizieren. Allerdings eindeutig die 1 in der obersten Reihe u + würde stattdessen auf das linkshändige Weyl-Feld projiziert, wenn wir den entsprechenden Operator verwenden, ist es aber nicht u + eher links/rechts gemischt?
Es tut mir nicht leid, aber ich kann Ihnen nicht allzu viel helfen, da das, was Sie fragen, etwas zu lang ist, um es für einen Kommentar zu erklären. Dennoch kann bei der ersten Frage die Erinnerung an die Grundlagen der Quantenmechanik helfen, die Eigenschaft zu interpretieren. Ich empfehle Ihnen, ein wenig über den Unterschied von Chiralität / Helizität zu recherchieren und warum sie für masselose Teilchen gleich sind.
Lösung der Dirac-Gleichung - Vierkomponenten-Spinoren - links-/rechtshändig im ultrarelativistischen Grenzfall
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