Zweite Quantisierung: Der Identitätsoperator pendelt nicht?

Question

Zweite Quantisierung: Der Identitätsoperator pendelt nicht?

Physik
Betreiber
Kommutator
Hilbert-Raum
zweite Quantisierung

David Roberts

Lassen Sie mich das einfachste mögliche Beispiel nehmen. Betrachten Sie den fermonischen Fock-Raum $\Lambda^*(\mathbb{C}^n)$ gebaut aus einem endlichdimensionalen, orientierten Einzelteilchen-Hilbert-Raum $\mathbb{C}^n$ mit Orientierung

[ψ_{1}, \dots, ψ_{N}] .

$[\psi_1,\cdots, \psi_n].$ Der Identitätsoperator auf diesem Fock-Raum kann geschrieben werden als

1 = \sum_{J = 1}^{N} C_{J}^{†} C_{J},

$1= \sum_{j=1}^n c_j^\dagger c_j,$ Wo

c_{j}, c_{j}^{†}

$c_j,c_j^\dagger$ erschaffen und vernichten

ψ_{j}

$\psi_j$ bzw. Deshalb, $1$ sollte mit jedem anderen Operator pendeln . Allerdings nicht. Nehmen

c_{i}

$c_i$ , Zum Beispiel:

[1, C_{ich}] = \sum_{J = 1}^{N} [C_{ich}, C_{J}^{†} C_{J}] = \sum_{J = 1}^{N} (C_{ich} C_{J}^{†} C_{J} - C_{J}^{†} C_{J} C_{ich})

$[1,c_i]=\sum_{j=1}^n[c_i,c_j^\dagger c_j]=\sum_{j=1}^n(c_ic_j^\dagger c_j-c_j^\dagger c_jc_i)$

= \sum_{J = 1}^{N} (δ_{ich J} C_{J} - C_{J}^{†} C_{ich} C_{J} - C_{J}^{†} C_{J} C_{ich}) = \sum_{J = 1}^{N} δ_{ich J} C_{J} = C_{ich} .

$~~~~~~~~~=\sum_{j=1}^n(\delta_{ij}c_j-c_j^\dagger c_ic_j-c_j^\dagger c_jc_i)=\sum_{j=1}^n\delta_{ij}c_j=c_i.$ Findet das noch jemand verwirrend?

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Zweite Quantisierung: Der Identitätsoperator pendelt nicht?

CR Drost · Answer 1

Der Identitätsoperator ist es nicht $\sum_j c^\dagger_j c_j = \sum_j |1_j\rangle\langle1_j|$ sondern eher

\prod_{J} (| 0_{J} ⟩ ⟨ 0_{J} | + | 1_{J} ⟩ ⟨ 1_{J} |) = \prod_{J} (C_{J}^{†} C_{J} + C_{J} C_{J}^{†}) = \prod_{J} {C_{J}^{†}, C_{J}} .

$\prod_j \big(|0_j\rangle\langle0_j| + |1_j\rangle\langle1_j| \big) = \prod_j\left(c^\dagger_j c_j + c_jc_j^\dagger\right) = \prod_j \left\{c_j^\dagger,c_j\right\}.$ Glücklicherweise

{c_{j}^{†}, c_{j}} = 1

$\left\{c_j^\dagger,c_j\right\}=1$ für fermionische CAPs.

Das ist erwähnenswert $N = \sum_j c_j^\dagger c_j$ ist ein spezieller Operator: der Zahlenoperator, dessen Eigenwerte die Gesamtzahl der Fermionen im System angeben. Es pendelt also offensichtlich nicht mit $c_j$ , was die Fermionenzahl um eins ändert.

Zweite Quantisierung: Der Identitätsoperator pendelt nicht?

David Roberts

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