Was ist die physikalische Bedeutung der Kommutierung zweier Operatoren?

Lassen Sie uns zunächst die mathematische Aussage wiederholen, dass zwei Operatoren$\hat A$und$\hat B$miteinander pendeln. Das bedeutet es

Wenn Sie sich daran erinnern, dass Operatoren auf quantenmechanische Zustände einwirken und Ihnen im Gegenzug einen neuen Zustand geben, dann bedeutet dies, dass mit$\hat A$und$\hat B$Pendeln, der Zustand, den Sie von der Vermietung erhalten, zuerst$\hat A$und dann$\hat B$Auf einen Anfangszustand einzuwirken ist dasselbe , als ob Sie zuerst lassen würden$\hat B$und dann$\hat A$Handeln Sie in diesem Zustand:

Das ist keine triviale Aussage. Viele Operationen, wie Drehungen um verschiedene Achsen, tauschen nicht aus und daher hängt das Endergebnis davon ab, wie Sie die Operationen angeordnet haben.

Also, was sind die wichtigen Implikationen? Denken Sie daran, dass Sie bei einer quantenmechanischen Messung immer einen Eigenwert Ihres Operators messen und Ihr Zustand nach der Messung im entsprechenden Eigenzustand verbleibt. Die Eigenzustände zum Operator sind genau die Zustände, für die es keine Unsicherheit in der Messung gibt: Sie werden immer den Eigenwert mit Wahrscheinlichkeit messen$1$. Ein Beispiel sind die Energie-Eigenzustände. Wenn Sie in einem Zustand sind$|n\rangle$mit Eigenenergie$E_n$, Du weißt, dass$H|n\rangle = E_n |n \rangle$und du wirst diese Energie immer messen$E_n$.

Was nun, wenn wir zwei verschiedene Observablen messen wollen,$\hat A$und$\hat B$? Wenn wir zuerst messen$\hat A$, wissen wir, dass das System in einem Eigenzustand von belassen wird$\hat A$. Dies kann das Messergebnis von verändern$\hat B$, daher ist im Allgemeinen die Reihenfolge Ihrer Messungen wichtig. Nicht so bei Pendelvariablen! In jedem Lehrbuch wird gezeigt, dass wenn$\hat A$und$\hat B$pendeln, dann können Sie sich eine Reihe von Basiszuständen ausdenken $| a_n b_n\rangle$das sind Eigenzustände von beiden $\hat A$und$\hat B$. Wenn das der Fall ist, dann kann jeder Zustand als Linearkombination der Form geschrieben werden

BEARBEITEN Lassen Sie mich jetzt noch etwas erweitern. Bisher haben wir über einige Operatoren gesprochen$\hat A$und$\hat B$. Wir fragen nun: Was bedeutet es, wenn etwas beobachtbar ist?$\hat A$pendelt mit dem Hamiltonian $H$? Zunächst erhalten wir alle Ergebnisse von oben: Es gibt eine gleichzeitige Eigenbasis der Energie-Eigenzustände und der Eigenzustände von$\hat A$. Dies kann zu einer enormen Vereinfachung der Aufgabe des Diagonalisierens führen$H$. Beispielsweise pendelt der Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms mit$\hat L$, dem Drehimpulsoperator und mit$\hat L_z$, es ist$z$-Komponente. Dies sagt Ihnen, dass Sie die Eigenzustände durch eine Winkel- und eine magnetische Quantenzahl klassifizieren können$l$und$m$, und Sie können diagonalisieren$H$für jeden Satz von$l$und$m$unabhängig. Dafür gibt es noch mehr Beispiele.

Eine weitere Folge ist die Zeitabhängigkeit. Wenn Sie beobachtbar sind$\hat A$keine explizite Zeitabhängigkeit in seiner Definition eingeführt hat, dann wenn$\hat A$pendelt mit$\hat H$, das weißt du sofort$\hat A$ist eine Bewegungskonstante. Dies ist auf das Ehrenfest-Theorem zurückzuführen

Die Antwort auf diese Frage sollte damit beginnen, warum wir wollen, dass die physikalischen Observablen durch lineare Operatoren dargestellt werden.

In der theoretischen Physik geht es darum, ein mathematisches Modell zu konstruieren, von dem wir hoffen, dass es die Phänomene beschreibt, für die es modelliert wird, und daher hilft, Dinge vorherzusagen. In der klassischen Physik basiert dieses mathematische Modell wegen des netten Verhaltens der Dinge einfach auf den reellen Zahlen (zumindest lokal). In der Quantenmechanik ist das nicht der Fall. Experimente begannen, diskrete Werte sowie kontinuierliche Werte (wie Energie von Elektronen usw.) zu geben. Es besteht also Bedarf an einer Klasse von mathematischen Objekten, die kontinuierlichen und diskreten Fällen die gleiche Bedeutung beimessen.

Wir wissen, dass lineare Operatoren die Eigenschaft haben, dass sie sowohl diskrete als auch kontinuierliche Spektren besitzen , die als erforderliche Klasse mathematischer Objekte fungieren können. Daher beginnen wir, physikalische Observablen mit geeigneten linearen Operatoren zu identifizieren.

Postulat 1. Zu jeder dynamischen Variablen existiert ein linearer Operator, so dass mögliche Werte die Eigenwerte des Operators sind.

Wir brauchen einen Ort, an dem die gesamte Physik stattfindet und an dem diese Operatoren agieren, um uns die erforderlichen Ergebnisse zu liefern. Also konstruieren wir einen Hilbert-Raum, der aus Zuständen des Systems besteht, das wir beobachten.

In der Quantenmechanik spielt der Messvorgang eine wichtige Rolle. Es verändert den Zustand des Systems, das es messen soll. Wenn wir zwei Experimente nacheinander durchführen, besteht die Möglichkeit, dass einige der Informationen geändert werden.

Der Kommutator zweier Observablen$A$und$B$mit Operatoren$\hat{A}$und$\hat{B}$ist definiert als,

Ein Kommutator ist ein mathematisches Konstrukt, das uns sagt, ob zwei Operatoren kommutieren oder nicht. Vermuten$A$entspricht einer dynamischen Observablen$A$und$B$entspricht dem dynamischen Observablen$B$. Dann das Produkt$AB$entspricht der Messung des Observablen$A$nach dem Messen$B$. Wenn der Messvorgang das Ergebnis des nächsten Experiments so verändern (stören) wird, dass das Messen$A$nach dem Messen$B$gibt unterschiedliche Werte als Maß an$B$nach dem Messen$A$dann sagen wir, sie pendeln nicht. Daher bedeutet dies, dass der Kommutator nicht gleich Null ist.

Sonst ist es null. Das bedeutet, dass die beiden Observablen gleichzeitig gemessen werden können. Ein Kommutator sagt uns also, ob wir zwei physikalische Observablen gleichzeitig messen können (die als kompatible Observablen bezeichnet werden) oder nicht

Wenn wir den Wert des Kommutators kennen, sagt er aus, wie die Messungen die Dinge verändern werden. Es gibt mehr Informationen wie die Unsicherheit.

Physikalisch bedeutet es, dass es keine Rolle spielt, in welcher zeitlichen Reihenfolge Sie die beiden pendelnden Observablen messen.

Das bedeutet, dass Sie beide Größen (im Prinzip) gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit messen können. Wenn sie nicht pendeln würden, wäre dies nach dem Unsicherheitsprinzip unmöglich.

Sie können die Kommutativität verschiedener Variablen als physikalische Unabhängigkeit betrachten, so etwas wie getrennte unabhängige Variablen:

$\frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x}$.

Kommutierungsoperatoren sind zwei beliebige Operatoren, die in beliebiger Reihenfolge auf eine Funktion angewendet werden können, ohne das Ergebnis zu verändern

Wenn zwei qm Operatoren nicht pendeln, bedeutet das, dass uns etwas in der Natur fehlt. Das heißt, die Quantenmechanik ist eine Theorie der Messung, aber nicht der Natur wegen der Nichtkommutierung. Daher bedeutet dies, dass die Dinge, die wir übersehen, nicht durch die Quantenmechanik beschrieben werden können, und dies führt zu dem Schluss, dass qm keine vollständige Beschreibung der Natur ist.