Was bedeutet es, dass 2 Observables kompatibel sind?

Wenn ich 2 beobachtbare Operatoren habe A Und B , Wenn A Und B pendeln: [ A , B ] = 0 , dann müssen sie zwangsläufig einen vollständigen Satz pendelnder Observablen (CSCO) bilden. Wenn 2 Observables kompatibel sind, scheint dies im Wesentlichen ziemlich signifikant zu sein.

Ich wollte nur eine Intuition dafür bekommen, was das bedeutet. Hat das etwas mit der Messgenauigkeit zu tun?

Ich weiß zum Beispiel, dass der Hamiltonian, wenn er zeitunabhängig ist, mit sich selbst pendelt:

[ H , H ] = 0
Wenn der Hamiltonoperator jedoch zeitabhängig ist, dann gilt dies nicht immer:
[ H ( T 1 ) , H ( T 2 ) ] ≠ 0
Liegt das daran, dass sich der Hamiltonian ändert und daher nicht mehr unbedingt immer gleich auf sich selbst einwirkt?

Ich weiß auch, dass die Positions- und Impulsoperatoren pendeln, wenn sie in verschiedene Richtungen gehen, aber nicht pendeln, wenn sie in die gleiche Richtung gehen:

[ X ich , P J ] = δ ich J
Bedeutet dies, dass, wenn 2 Observable nicht pendeln, dies der Idee entspricht, dass wir sie nicht beide gleichzeitig mit hoher Präzision messen können?

Ein Satz von CSCO ist per Definition so, dass alle möglichen gemeinsamen Eigenzustände eindeutig durch die Eigenwerte dieser Observablen bestimmt sind. In Bezug auf klassische Zustände wird der Zustand eindeutig durch die Werte dieser Observablen bestimmt.
Bezogen auf das Erhaltungsgesetz, wenn eine Observable mit dem Hamilton pendelt.
@K_inverse Könntest du das etwas näher erläutern? Wenn zum Beispiel [ S X , H ] = 0 , impliziert dies einen Spin-Erhaltungssatz?
Richtig, die Heisenbergsche Bewegungsgleichung! D A D T = 1 ich ℏ [ A , H ] . Also wenn A pendelt mit H , Dann D A D T = 0 . Danke!
@CuriousHegemon Außerdem folgt die Heisenberg-Bewegungsgleichung tatsächlich der klassischen Bewegung. Versuchen Sie, selbst ein einfaches System zu erarbeiten :)

Antworten (1)

In der Quantenmechanik verändert eine Messung (fast) immer das zu messende System. Wenn zwei Messungen pendeln, wirkt sich die Art und Weise, wie eine Messung das System ändert, intuitiv nicht auf die Ergebnisse der anderen Messung aus. Wenn Sie also diese beiden Messungen beliebig oft in beliebiger Reihenfolge wiederholen, erhalten Sie für beide Messungen immer die gleichen Ergebnisse.

Wenn die beiden Messungen andererseits nicht pendeln, wird jedes Mal, wenn Sie eine durchführen, die andere (zumindest teilweise) auf einen unbestimmten Wert "zurückgesetzt" (ich beschönige einige Feinheiten).

Dies erklärt, warum, wenn eine Observable mit dem Hamilton-Operator pendelt, ihr Wert über die Zeit erhalten bleibt: Der Hamilton-Operator "schiebt das System in die Zukunft", wirkt also in gewissem Sinne kontinuierlich auf das System ein und verändert es auf eine Weise, die die Wert der meisten Observablen - mit Ausnahme der speziellen, die mit dem Hamilton-Operator pendeln und daher nicht von der Zeitentwicklung beeinflusst werden.

Tolle Antwort, danke. Ich finde es jetzt viel sinnvoller. Wenn wir also zwei Observablen haben A Und B , dann wenn A B | ψ ⟩ ≠ B A | ψ ⟩ , Wo | ψ ⟩ ein Zustands-Ket ist, bedeutet dies, dass die Reihenfolge, in der wir A und B messen, von Bedeutung ist, was bedeutet, dass die Messung von A oder B die Messung des anderen beeinflusst. Eindrucksvoll!
Was bedeutet es, dass 2 Observables kompatibel sind?
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