Wie muss ich mir einen Spinorkommutator vorstellen, oder allgemein das aufeinanderfolgende Auftreten von Ψ¯Ψ¯\bar{\Psi} und ΨΨ\Psi?

Es fällt mir schwer, einen Ausdruck wie zu verstehen

[ Ψ ( X ) , Ψ ¯ ( j ) ] .
Bisher habe ich mir einen Spinor-Operator so etwas wie einen Spaltenvektor von Operatoren vorgestellt, so etwas in der Art von
Ψ = ( Ψ 1 Ψ 2 Ψ 3 Ψ 4 ) .
Und in ähnlicher Weise wäre der Dirac-Adjoint
Ψ ¯ = ( Ψ ¯ 1 Ψ ¯ 2 Ψ ¯ 3 Ψ ¯ 4 ) .
Wenn ich jedoch Begriffe sehe, die Operatoren oder Kommutatoren enthalten, werden alle Operatoren einfach nacheinander aufgeschrieben, ohne dass angegeben wird, was dies in Bezug auf ihre Matrixstrukturen bedeutet. Für Operatoren mit nur einer "Komponente" funktioniert das gut, da man so etwas wie Multiplikation definieren kann, ohne allzu viel Ärger zu bekommen. Allerdings mit Kommutator:
[ Ψ , Ψ ¯ ] = Ψ Ψ ¯ − Ψ ¯ Ψ ,
Wenn ich annehme, dass die Abbildung zwischen den beiden aufeinanderfolgenden Operatoren eine Matrixmultiplikation ist, ergibt man eine 4 × 4-Matrix, während die andere nur eine einzige Komponente liefert.

Wie soll ich an so etwas Geschriebenes denken? Oder bedeutet dies, dass jede Gleichung, die einen Spinor enthält, nur komponentenweise interpretiert werden soll?

Du meinst Spinor-Antikommutator?
Ja, es gibt zwei implizite Spinor-Indizes auf der rechten Seite. Genauso wie Felder auch von der Position abhängen, aber Sie schreiben die beiden Positionsargumente normalerweise nicht auf die rechte Seite, sie werden der Kürze halber unterdrückt.
@CosmasZachos Ich habe nur den Kommutator geschrieben, um ein Beispiel zu geben, ich könnte die gleiche Frage zum Antikommutator stellen
Warum um alles in der Welt haben Sie dann keine Vektor- oder Isospined-Boson-Felder verwendet?
@CosmasZachos Wir haben im Kurs noch keine isospinierten Bosonenfelder gemacht, und Vektorfelder haben nicht das gleiche Problem, weil Indizes ( μ v usw.) werden ständig explizit verwendet. Ich bin auf die Frage gestoßen, als ich den Abschnitt in peskin & schröder gelesen habe, wo sie versuchen, den Kommutator zur Quantisierung zu verwenden (und danach sehen, dass es nicht funktioniert). TBH sehe ich hier kein Problem. Die Frage wird nicht besser / schlechter, wenn ich nach dem Kommutator anstelle des Antikommutators frage, obwohl der Antikommutator viel häufiger verwendet wird.

Antworten (1)

Bei der Berechnung von Kommutatoren (oder häufiger Antikommutatoren) von Fermionenoperatoren wie dieser berechnet man immer die (Anti-)Kommutatoren bestimmter Komponenten der Felder. Das macht die Ergebnisse eindeutig.

Zum Beispiel darfst du mit rechnen { ψ ¯ a ' , ψ β } . Dies ist ein Objekt mit Rest ( a , β ) Indizes und stellt somit eine Matrix im Spinorraum dar. Wenn Sie zum Beispiel so etwas berechnen { ψ a † ( X → ) , ψ β ( X → ' ) } , finden Sie die Komponenten von a 4 × 4 Matrix, die im Spinorraum diagonal sind, δ a β δ 3 ( X → − X → ' ) . [Erinnere dich daran ψ a † kann weiter ausgebaut werden als ψ ¯ μ ( γ 0 ) μ a .]

Wie muss ich mir einen Spinorkommutator vorstellen, oder allgemein das aufeinanderfolgende Auftreten von Ψ¯Ψ¯\bar{\Psi} und ΨΨ\Psi?
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