Warum sollten wir uns um Darstellungen von Raumzeitsymmetrien in der Quantenmechanik kümmern?

Wir sollten zwischen zwei Dingen unterscheiden:

• Eine globale Symmetrietransformation ( z. B. globale Rotation) hat eindeutig keinen beobachtbaren physikalischen Effekt. Wenn wir das ganze Universum drehen, haben wir nichts Beobachtbares verändert.

• Im Gegensatz dazu hat die Existenz einer globalen Symmetrie (ich meine die mathematische Existenz im Modell) typischerweise beobachtbare Konsequenzen. Das liegt daran, dass globale Symmetrien tendenziell teilbar sind , wie von Harlow und Ooguri definiert . Eine teilbare globale Symmetrie ist eine, die es uns ermöglicht, einen Teil des Systems zu transformieren, ohne das Ganze zu transformieren. Das ist deutlich zu beobachten.

Die fraglichen Raumzeitsymmetrien sind teilbar, und deshalb kümmern wir uns um ihre Darstellung in der Quantenmechanik.

Hier ist eine andere Perspektive: Die meisten Modelle, die wir in der Quantenmechanik betrachten, sind Modelle von nur einem Teil eines vollständigeren physikalischen Systems. In einem solchen Modell stellt eine globale Symmetrietransformation nicht notwendigerweise eine globale Transformation des physikalischen Kontexts hinter den Kulissen dar, in dem das Modell angewendet werden soll.

Können wir die nicht beobachtbaren globalen Transformationen aus dem Formalismus eliminieren? Mit einer teilbaren Symmetrie können wir einen beliebig großen Teil des Systems transformieren, und das ist beobachtbar, daher scheint es schwierig zu sein, eine Transformation des gesamten Systems mathematisch durchzusetzen. Ich weiß nicht, wie es geht, und ich bin mir nicht sicher, welchen Zweck es erfüllen würde.

Denken Sie daran, dass selbst lokale Eichsymmetrien ein allgegenwärtiges Merkmal unserer derzeitigen Formulierung der Physik sind, obwohl jeder anerkennt, dass es sich dabei nur um Redundanzen handelt. Wir eliminieren sie nicht aus dem Formalismus, wir erkennen nur die Redundanz an.

Ihre Frage basiert auf einer falschen Prämisse. Raumzeitsymmetrien sind keine Redundanzen. Meine Teetasse aufzuheben und sie durch den Raum zu bewegen, ist eine echte Transformation, keine Art von Messgerät-Transformation, und zu behaupten, dass die Gesetze der Physik unter solchen Transformationen unveränderlich sind, macht eine echte Aussage über das Universum.

Man könnte sich ein Universum vorstellen, in dem es eine spezielle Richtung im Raum gibt, entlang der alle Objekte natürlicherweise schneller beschleunigen als in jeder anderen Richtung, oder einen speziellen Punkt (im leeren Raum), auf den alle Objekte auf natürliche Weise eine Kraft spüren. Die Behauptung, dass das Universum, in dem wir leben, keine besonderen Richtungen oder Punkte im Raum aufweist, ist eine reale, physikalische Behauptung, die am Ende wahr sein kann oder nicht.

Wenn wir in einem Universum leben würden mit zB einer speziellen Beschleunigungsrichtung, dann würde eine Rotation aller Materie im Universum spürbare Auswirkungen auf ihr Verhalten haben. Die Umlaufbahnen von Sternen und Planeten würden nach der Rotation anders sein, und die Form der physikalischen Gesetze, die ihr Verhalten bestimmen, müsste sich ändern.

Ich vertrete den Standpunkt passiver Transformationen: zB wirkt in der speziellen Relativitätstheorie eine Rotation aufgrund einer Tangente des Raumes an die Raumzeit. Dann ändern sich die Komponenten eines Tensors in unserer Beschreibung entsprechend, aber der Tensor (das geometrische Objekt) selbst ändert sich nicht.

Aktiv und passiv sind keine gleichwertigen Standpunkte, die Sie nach Belieben einnehmen können. Eine aktive Transformation bezieht sich auf eine echte, physikalische Transformation der betrachteten physischen Materie oder Felder, während eine passive Transformation sich auf eine Änderung von Koordinaten bezieht.

Das Durchführen einer Raumzeit-Symmetrietransformation – wie etwa einer Rotation des Systems – ist eine aktive Transformation. Um auf das oben erwähnte Beispiel zurückzukommen, könnte man sich vorstellen, dass das Universum anisotrop ist und dass Objekte leichter in der Richtung senkrecht zur Ebene der Milchstraße beschleunigen. Eine Drehung der gesamten Galaxie würde dann ihr Verhalten deutlich verändern. Dies ist mehr als nur eine Änderung der Koordinaten.

Anders ausgedrückt, die Gesetze der Physik sind bei passiven Transformationen von Natur aus invariant, weil wir es so definieren . In Physik 101 ändern wir oft Koordinaten, um Bewegungen entlang einer geneigten Ebene zu beschreiben. Wir ändern die Koordinaten in die eine Richtung und die Basisvektoren in die andere, sodass die Gesetze der Physik unverändert bleiben. Dies ist eine passive Transformation.

Andererseits könnten wir unsere Versuchsapparatur tatsächlich in die Hand nehmen und drehen. Die Koordinaten unserer Objekte würden sich ändern, aber die Basisvektoren nicht . Dies ist eine aktive Transformation (die übrigens das Verhalten des Systems nicht unverändert lässt, da dieses Modell keine Rotationsinvarianz aufweist).