Allgemeine Analyse interner Symmetrien in QFT

Ich versuche, so viel wie möglich über interne Symmetrien in QFT zu verstehen, ohne einen Lagrange oder den kanonischen Formalismus (oder Störungstheorie) zu verwenden, aber es fällt mir schwer, gute Referenzen zu finden.

Betrachten wir zum Beispiel eine freie Theorie mit a U ( 1 ) Symmetrie ist es einfach, den Zahlenoperator zu konstruieren und zu zeigen, dass seine Eigenwerte ganze Zahlen sind.

  • Bleibt das wahr, wenn wir Interaktionen hinzufügen? Für asymptotische Zustände gilt das eindeutig, aber was ist mit gebundenen Zuständen? müssen diese auch ganzzahlige Ladung haben?

Als Beispiel für das, was ich meine: Man kann die Algebra der Drehimpulsoperatoren verwenden [ J ich , J J ] = ich ϵ ich J k J k zu zeigen, dass die Eigenwerte von J ich sind diskret:

  • Ist es möglich, dasselbe beispielsweise mit dem Ladeoperator zu tun? Mit anderen Worten, ist es möglich, die Algebra der internen Symmetrien zu verwenden, um zu zeigen, dass interne Quantenzahlen diskret sein müssen?
Mein Beitrag wurde bearbeitet und die Fragen wurden in sechs verschiedene Elemente aufgeteilt. Ich bin mit der Bearbeitung nicht einverstanden: Es sah so aus, als würde ich sechs verschiedene Fragen stellen, obwohl ich tatsächlich nur eine frage. Ich habe den Beitrag erneut bearbeitet; Ich hoffe, die Leute sind damit einverstanden.
@ user81003 danke :-) Ich werde es lesen

Antworten (1)

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Frage richtig verstanden habe. Allerdings lässt sich bezüglich des Spektrums etwas Allgemeines sagen, wenn man sich nur die abstrakte Gruppe anschaut. Stellt man eine kompakte Lie-Gruppe dar S U ( N ) oder S Ö ( N ) Mittels einer einheitlichen stark kontinuierlichen Darstellung sind Sie sicher, dass das Spektrum jedes Generators und der Casimir-Operatoren diskret ist, abgesehen von seltenen Situationen, die ich unten beschreibe, als Folge des berühmten Peter-Weyl- Theorems .

Dieses Ergebnis legt fest, dass unter den oben erwähnten Hypothesen die Darstellung die direkte orthogonale Summe (und nicht ein direktes Integral, wie es im allgemeinen Fall vorkommt) der irreduziblen einheitlichen Darstellung mit endlicher Dimension ist .

In jedem invarianten endlichdimensionalen Unterraum jeder irreduziblen Darstellung reduziert sich alles auf eine Matrixdarstellung und somit ist das Spektrum jedes selbstadjungierten Generators (der eine hermitische Matrix ist) eine endliche und diskrete Menge von Punkten und jeder Eigenvektor ist ein echter Eigenvektor.

Summiert man alle irreduziblen Unterdarstellungen der Ausgangsdarstellung, so ist jeder Generator die Summe aller entsprechenden Erzeuger der Unterdarstellungen. (Es gibt einige mathematische Details zu den verwendeten Domänen und der verwendeten Topologie in der Summe, aber sie sind hier ziemlich irrelevant).

Die Casimir-Operatoren sind die Summe der entsprechenden (konstanten) Casimir-Operatoren in jeder irreduziblen Teildarstellung. Das Spektrum ist der Abschluss der Vereinigung der Spektren . Die möglichen hinzugefügten Punkte zu der einfachen Vereinigung von diskreten Punkten sind die einzigen möglichen Punkte des kontinuierlichen Spektrums der Gesamtdarstellung und sind nur die Häufungspunkte (falls vorhanden) der besagten Vereinigung.

Ja, ich habe das Gefühl, Sie haben die Frage verstanden: Das ist genau das, was ich wissen wollte. Natürlich können wir sagen, dass ein wichtiger Punkt ist, dass die Gruppe kompakt ist, oder? (Die Poincaré-Gruppe hat, da sie nicht kompakt ist, einen Casimir mit kontinuierlichen Spektren, richtig?). Eine letzte Frage, wenn es Ihnen nichts ausmacht: Stimmt es generell, dass für, sagen wir, a U ( 1 ) Symmetrie die Ladungen kommen in positiven/negativen Paaren vor? (dh wenn Q ein Eigenwert ist, also ist − Q ). Ich glaube, das ist wahr, wenn wir einen Ladungskonjugationsoperator haben, aber das hängt von "großen Gruppentransformationen" ab und nicht nur von denen, die mit 1 verbunden sind. Ist es trotzdem wahr?
Ja, Kompaktheit ist der entscheidende Punkt. Die Poincaré-Gruppe hat einen Casimir-Operator mit kontinuierlichem Spektrum. In Bezug auf Ihre letzte Frage benötigen Sie für ein Teilchenpaar mit entgegengesetzten Ladungen auch die Ladungskonjugationssymmetrie in der Menge der Symmetrien Ihres Systems.
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