Symmetrien in QM und QFT --- Operatortransformationsgesetze

In der Quantenmechanik implementieren wir Transformationen durch Operatoren$U$die den Staat abbilden$|\psi\rangle$zum Staat$U|\psi\rangle$. Alternativ könnten wir die Aktion von übertragen$U$auf unsere Operatoren:

$$O\mapsto U^\dagger OU$$ Diese Operatoren $U$sollte eine Repräsentation der interessierenden Transformationsgruppe darstellen. Die Frage, die wir uns dann stellen, lautet: Welche Darstellung sollen wir wählen? Ich habe gelernt, dass wir die Matrizen festlegen $U$das wir wünschen, indem wir verlangen, dass sich der Positionsoperator oder der Positionseigenzustand auf die geeignete geometrische Weise transformiert: Wenn $R$eine Rotationsmatrix in 3D ist, dann wünschen wir uns das $$U(R)^\dagger \vec{x} U(R) = R\vec{x}$$

Ich habe mehrere Fragen zu diesem Verfahren:

1) Das wird oft behauptet$U$ist einheitlich, da 'Wahrscheinlichkeiten erhalten bleiben müssen'. Aber aus meinen Studien geht hervor, dass Operatoren, die Lorentz-Boosts darstellen, nicht einheitlich sind. Wie lassen sich diese beiden Tatsachen vereinbaren?

2) In einem ähnlichen Zusammenhang sagen wir, dass eine Transformation eine Symmetrie des Systems ist , wenn der Hamiltonoperator unter der Transformation erhalten bleibt. Das ergibt für mich Sinn, da es der Hamiltonian ist, der das System definiert; Wenn der Hamilton-Operator unverändert bleibt, sind die alten Lösungen der Schrödinger-Gleichung immer noch Lösungen. Es ist jedoch klar, dass jeder Transformationsoperator, der einen Galilei-Boost (in der nicht-relativistischen QM) oder einen Lorentz-Boost (in der relativistischen QFT) implementiert, den Hamilton-Operator nicht unverändert lassen wird. Das bedeutet jedoch nicht, dass Boosts keine Symmetrien unseres Systems sind. Was ist denn hier los? Warum genau ist$U^\dagger H U = H$die Bedingung für$U$eine 'Symmetrie' sein?

3) Verlangen, dass die Betreiber$U$die Eigenschaft erfüllen (Übersetzung für Konkretheit wählen)

$$U^\dagger \vec{x} U = \vec{x} + \vec{a}$$ sagt uns nicht sofort, wie sich die Transformation auf andere Operatoren auswirkt, wie z. B. Impuls- oder Drehimpulsoperatoren. Für den Fall einer Übersetzung von $a$, wir glauben, dass $$U = \exp\left( -i\frac{\vec{a}\cdot\vec{p}}{\hbar}\right)$$ die obige Gleichung erfüllt (infinitesimal arbeiten). Das sagt uns das dann $U^\dagger \vec{p} U = \vec{p}$. Das wollen wir – Translationen im Raum haben keinen Einfluss auf den Impuls. Aber wir haben es unseren Mitarbeitern nicht gesagt $U$dass sie diese Eigenschaft erfüllen sollten, also scheint die Tatsache, dass sie es tun, eher ein Zufall zu sein. Das heißt, es ist nur erforderlich, den Positionsoperator mit zu konjugieren $U(R)$dreht, scheint es jeden Vektoroperator zu zwingen, unter Konjugation mit gedreht zu werden $U(R)$. Liegt dem etwas Grundsätzliches zugrunde?

4) In QFT wollen wir Lorentz-Boosts mit Operatoren implementieren

$$S = \exp \left( -i\frac{\omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu}}{2\hbar}\right)$$ Wo $\delta^\mu_\nu + \omega^\mu{}_\nu$ist die infinitesimale Lorentz-Transformation, die wir darstellen. Jetzt für $T$die eine andere, nicht notwendigerweise infinitesimale Lorentz-Transformation darstellt $\Lambda$, wir haben $$T^{-1} S T = T^{-1} \left(1 - i\frac{\omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu}}{2\hbar} \right) T$$ Aber die Bedingung, dass die Matrizen $S$Und $T$eine Darstellung der Lorentz-Gruppe darstellen muss, impliziert, dass die Kombination auf der linken Seite gleich sein sollte $$\exp \left( -i\frac{\Omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu}}{2\hbar}\right)$$ Wo $\Omega_{\mu \nu}$definiert die zusammengesetzte Transformation: $$\delta^\mu_\nu + \Omega^\mu{}_\nu \equiv (\Lambda^{-1})^\mu{}_\rho(\delta^\rho_\sigma + \omega^\rho{}_\sigma)\Lambda^\sigma{}_\nu$$ Der Vergleich dieser Gleichungen ergibt dann $$T^{-1} M^{\mu \nu} T = \Lambda^\mu{}_\rho \Lambda^\nu{}_\sigma M^{\nu \sigma}$$ unter Verwendung der Hebe- und Senkeigenschaften der Minkowski-Metrik. Meine Frage ähnelt der in 3) --- das Objekt $M^{\mu \nu}$ist nur eine Sammlung von 6 Operatoren, und es ist überhaupt nicht offensichtlich, dass diese Indizes Tensor-Indizes sein sollten. Und doch irgendwie --- nur indem man nach den Matrizen fragt $S$um eine Darstellung zu bilden --- wir haben es geschafft, das Tensortransformationsgesetz zu reproduzieren (zugegebenermaßen haben wir a $T^{-1}$hier eher als a $T^\dagger$--- das bezieht sich auf meine erste Frage). Mit anderen Worten, wir haben die korrekte geometrische Wirkung der Lorentz-Transformation auf die Operatoren $M^{\mu \nu}$, obwohl wir nie danach gefragt haben!

Wie Sie sehen können, bin ich sehr verwirrt von der ganzen Situation. Ich entschuldige mich, wenn die obige Diskussion etwas durcheinander klingt, und ich würde mich über jede Hilfe freuen, die gegeben werden kann!