Kommutierungsbeziehungen der Generatoren der konformen Gruppe

Meine Frage stammt von S.98 des Buches von Di Francesco über die Theorie der konformen Felder. Er gibt die sechs nicht verschwindenden Vertauschungsbeziehungen zwischen den Elementen an P μ , D , L μ v Und K μ bestehend aus dem vierdimensionalen Raum der Erzeuger der konformen Gruppe. Diese werden dann neu geschrieben, indem ein Satz von vier weiteren Generatoren definiert wird:

J μ v = L μ v , J − 1 , μ = 1 2 ( P μ − K μ ) , J − 1 , 0 = D , J 0 , μ = 1 2 ( P μ + K μ ) ,
und ich glaube, die Motivation dafür ist, dass die sechs oben erwähnten Kommutierungsbeziehungen eloquent in eine einzige einzeilige Kommutierungsbeziehung umgeformt werden können
[ J A B , J C D ] = ich ( η A D J B C + η B C J A D − η A C J B D − η B D J A C )
Das sagt es auch A , B ∈ { − 1 , 0 , 1 , … , D } und dass die neuen Generatoren dem gehorchen S Ö ( D + 1 , 1 ) Kommutierungsbeziehungen (was meiner Meinung nach die einzeilige Gleichung oben ist).

Meine Frage ist: Was bedeuten die Indizes A , B darstellen und was bedeutet die Notation S Ö ( D + 1 , 1 ) bedeuten? Ich denke, es gibt D räumliche Dimensionen, aber ich kann nicht erkennen, welche Bedeutung die haben − 1 Und 0 Elemente sind.

Vielen Dank.

Da noch niemand etwas gesagt hat, stelle ich eine Vermutung an. Sehen Sie, ob es Sinn macht. Es gibt D räumliche Dimensionen. Der Index 0 steht für Zeit (da bin ich mir ziemlich sicher). Der Index -1 hat etwas mit dem zu tun D Betreiber, von denen ich vermute, dass es sich um Dilatationen handelt. S Ö ( D + 1 , 1 ) ist nur die Gruppe der Lorentz-Transformationen im Minkowski-Raum mit D + 1 räumliche Dimensionen statt D . Das einzige, was mich verwirrt, ist was η − 1 − 1 soll sein. Ich würde vermuten η − 1 − 1 soll das entgegengesetzte Vorzeichen der anderen diagonalen Elemente von haben η , aber vielleicht η 00 ist das Seltsame.

Antworten (2)

Die Indizes A Und B so gewählt werden, dass sich beim Einfügen unterschiedliche Kombinationen von Werten ergeben − 1 Zu D gibt nur die ursprünglichen sechs Kommutierungsbeziehungen für die Generatoren konformer Symmetrietransformationen an. Wie Sie richtig angedeutet haben, geht es darum, die sechs Relationen in kompakter Form umzuschreiben.

Letzteres zeigt, dass die konforme Gruppe tatsächlich durch gegeben ist SO ( D + 1 , 1 ) , das ist die Gruppe der speziellen orthogonalen Transformationen in D + 1 raumartig und 1 zeitliche Dimensionen, wo D ist die Anzahl der räumlichen Raum-Zeit-Dimensionen. 0 stellt die Zeitkomponente dar, während − 1 ist raumartig und erscheint, weil wir Dilatationen und spezielle konforme Transformationen haben. Beachten Sie das − 1 ist keine räumliche Dimension in Bezug auf die Raumzeit, sondern eine zusätzliche Dimension in Bezug auf die Gruppenaktion.

Hallo Frederic, vielen Dank für deine Antwort. Ist es also so, dass eine zusätzliche raumartige Komponente und eine zeitartige Komponente hinzugefügt werden, um den Isomorphismus zwischen der konformen Gruppe und SO(d+1,1) explizit zu machen? In gewissem Sinne sind diese zusätzlichen Komponenten fiktive dimensionale Größen, die hinzugefügt werden, um die Verbindung zu SO(d+1,1) herzustellen? Könnten Sie auch erklären, wie die − 1 erscheint, weil wir Dilatationen und spezielle konforme Transformationen gegeben haben? Danke noch einmal.
@CAF: Niemand fügt eine zusätzliche zeitähnliche Komponente hinzu, sie ist bereits vorhanden. Die Gruppe der Lorentz-Transformationen in d-Raum-ähnlichen Dimensionen ist durch SO(d,1) gegeben, es gibt nur eine Zeitkomponente. Das Hinzufügen von Dilatationen und speziellen konformen Transformationen ergibt SO(d+1,1). Aber ja, Sie können die zusätzliche Dimension als Werkzeug interpretieren, um SO(d+1,1) zu manifestieren. Wir nennen das zusätzliche Komponente − 1 und ordnen sie den Erzeugern so zu, dass die Beschaffenheit des Objekts erhalten bleibt.
@CAF Tensoren werden zu Tensoren, Vektoren zu Vektoren und Skalare bleiben Skalare. Auf diese Weise kann man die Indizes eindeutig zuordnen.

Ich folge nur Frederics Antwort. Ich würde mich nicht zu sehr damit aufhalten, über eine Metrik nachzudenken, die Folgendes beinhaltet η − 1 − 1 . Die Metrik bezieht sich wirklich auf die Raumzeit und es gibt keine neue Raumzeitdimension, die wir eingeführt haben. Es ist nur eine Möglichkeit, die Generatoren zu bezeichnen - ihre Indizes beziehen sich nicht unbedingt auf Raumzeitdimensionen, obwohl sie dies für die meisten tun J Hier.

Sie sollten die Idee der Symmetriegruppe etwas von der Raumzeit trennen. Was ich meine ist, Sie scheinen aufgehängt zu sein, SO (3) als die Gruppe von Isometrien des 3-Raums und vielleicht SO (3,1) als die Isometrien des Minkowski-Raums zu denken (vielleicht wussten Sie das zuletzt nicht Teil, aber es ist wahr) und denken daher, dass Sie eine größere Raumzeit benötigen, um SO (d + 1,1) zu haben.

Es ist jedoch nicht unbedingt so, dass die Symmetriegruppe einer Theorie in d räumlichen Dimensionen und n zeitlichen Dimensionen SO(d,n) ist. Dies gilt für den euklidischen Raum und den Minkowski-Raum ohne konforme Invarianz, was uns voreingenommen ist. Aber eigentlich ist es nur ein Vorurteil anzunehmen, dass die (maximale) Symmetriegruppe SO(d,n) ist. Ich meine, es trifft auf die meisten QFTs zu, die wir zuerst lernen. Außerdem ist SO(d,n) in Theorien mit konformer Invarianz als Untergruppe enthalten, und wir mussten uns beim Erlernen der QFT keine Gedanken darüber machen, ob es Teil einer größeren Gruppe war.

Ich denke, es gibt einen Fehler in Frederics Antwort. Die konforme Gruppe in d räumlichen und n zeitlichen Dimensionen ist SO(d+1,n+1). Eine CFT im euklidischen 4-D-Raum ist also eine Darstellung von SO(5,1) und im 4-D-Minkowski-Raum eine Darstellung von SO(4,2).

Eine sehr interessante Sache bei all dem: Sie fragen sich vielleicht, was eine Raumzeit ist, in der SO(4,2) wirklich nur verallgemeinerte Rotationen sind (im Gegensatz zu Rotationen + SCTs + Dilatationen)? Also, A D S 5 ist ein! Dies könnte Ihr erster Hinweis auf die Existenz der AdS-CFT-Korrespondenz sein! Eine CFT in 3+1-dimensionaler Raumzeit gehorcht derselben Algebra wie die Isometrien von A D S 5 . Siehe "ANTI-DE SITTER SPACE" von Ingemar Bengtsson - die Seiten 1-5 geben eine schöne kurze Einführung in die AdS-Raumzeit und ihre Isometrien.

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