Einheitliche Darstellungen in der konformen Feldtheorie

Daher studiere ich derzeit die konforme Feldtheorie aus der Perspektive der Darstellungstheorie der Lie-Algebren. Ich versuche genau zu verstehen, warum wir uns für unitarisierbare Verma-Module interessieren. Als Referenz lese ich "Affine Lie Algebras and Quantum Groups" und "Symmetries, Lie Algebras, and Representations". Mit unitarisierbar meine ich ein Modul, das ein hermitisches inneres Produkt wie das zulässt ( E ± ich ) † = E ∓ ich Und ( H ich ) † = H ich definiert einen Adjungierten auf der Chevalley-Serre-Basis.

Soweit ich weiß, eine einheitliche Darstellung v einer Lie-Gruppe G ist eine Darstellung, die ein inneres Produkt befriedigend zulässt

( U v , U w ) = ( v , w )
für alle v , w ∈ v Und U ∈ G . Dies impliziert das U ist einheitlich. Nun, wenn U ist in irgendeiner verbundenen Komponente der Identität von G , können wir es in Form von Elementen der entsprechenden Lie-Algbera schreiben G unter Verwendung der Exponentialkarte. Grundlage gegeben { J A } für G , wir haben
U = exp ( ∑ A a A J A )           U − 1 = exp ( − ∑ A a A J A ) .
Seit U einheitlich ist, können wir darauf schließen ( J A ) † = − J A . Wenn wir dies auf komplexe Lie-Algebren erweitern, erhalten wir die erforderliche Adjungierte auf der Chevalley-Serre-Basis.

Nun zu meinen Fragen. Erstens, warum kümmern wir uns um einheitliche Repräsentationen von Lie-Gruppen? Zweitens, was genau ist hier grundlegender; die Darstellung der Lie-Gruppe oder die Darstellung der Lie-Algebra? Ich habe ein Problem damit zu sagen, dass diese gleichwertig sind. Zum Beispiel gilt der dritte Satz von Lie nur für endlichdimensionale Lie-Algebren (nicht für die Virasoro-Algebra der affinen Lie-Algebren, die in der CFT sehr grundlegend sind). Soweit ich weiß, sind wir auch an unendlichdimensionalen (wenn auch irreduziblen) Darstellungen von Lie-Algebren interessiert.

Antworten (1)

Wir kümmern uns um einheitliche Darstellungen von Lie-Algebren/Gruppen, da physikalische Symmetrien einheitlichen Operatoren nach Wigners Theorem entsprechen . Wenn wir also wissen, dass eine Quantentheorie eine Symmetriegruppe haben sollte G , dann wissen wir, dass sein Zustandsraum eine einheitliche (oder eher projektive, siehe diese Fragen und Antworten von mir für die mathematischen Details) Darstellung von liefern muss G .

Insbesondere, wenn die Algebra Operatoren enthält, die physikalisch mit der Zeitentwicklung zusammenhängen, wie die der Virasoro-Algebra L 0 das ist im Wesentlichen die Hamiltonsche Fahrzeitentwicklung, dann bedeutet Uneinheitlichkeit der Darstellung, dass sich die physikalischen Wahrscheinlichkeiten nicht immer zu 1 addieren, dh die Theorie ist inkonsistent.

Da wir uns mit projektiven Darstellungen befassen, ist es "grundlegender", sich um Darstellungen der Lie-Algebra zu kümmern, da diese bereits nichtlineare Darstellungen abdeckt, die durch Überdecken von Gruppen der ursprünglichen Gruppe induziert werden. Außerdem hat die Virasoro-Algebra keine eindeutig zugeordnete Gruppe, obwohl es verschiedene Kandidaten gibt, die jeweils etwas unbefriedigend sind, siehe z. B. Schottenlohers Buch über CFT für eine Diskussion darüber.

Dennoch sind viele interessante CFTs nicht einheitlich: zum Beispiel die CFTs, ​​die die Yang-Lee-Kantensingularität oder Perkolation beschreiben.
@SylvainRibault Wenn Sie das erweitern könnten, wäre das eine nette ergänzende Antwort auf meine, denke ich.
Ich muss das Problem erst selbst besser verstehen. Deshalb werde ich hier und jetzt nicht versuchen, darauf einzugehen.
CFTs, ​​die in klassischen kritischen Punkten erscheinen, haben keinen Grund, einheitlich zu sein, da sie natürlich in euklidischer Signatur sind. Einheitlich in der euklidischen Signatur wird Reflexionspositivität genannt. Einige statistische Systeme haben es (wie Ising) oder entwickeln sich kritisch, andere nicht.
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